24^ a Questão

Atualmente, os softwares avançados dos computadores vêm nos auxiliando na produção de peças para embarcações. Inicialmente é esboçada, em um plano cartesiano, a função com seus limites que dará o formato da peça. E posteriomente, ocorre uma rotação em um de seus eixos, formando-a. Ocorreu uma rotação em x da função f(x)=raizx, que foi limitada pelos pontos: (1,1) e(4,2). Pode-se concluir que a área da figura formada é:
Considere: raiz17 cong 4,1, raiz5 cong 2,2 e pi cong 3,14.
(a) 30 u.a.
(b) 30,7u.a.
(c) 31,4 u.a.
(d) 31,8 u.a.
(e) 32,6 u.a.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x o gráfico de
f(x)=raizx
no intervalo de x=1 até x=4.
Conteúdo: cálculo de área de superfície de revolução. Vamos usar a fórmula
S = 2pi integrala^b f(x),raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x) = ddxl(raizxr) = 12raizx
Então dentro da raiz fica
1 + l(f'(x)r)^2 = 1 + 14x = 4x + 14x
Logo o integrando é
f(x),raiz1 + l(f'(x)r)^2 = raizx,raiz4x+14x = raiz4x+12

Passo 3

Substituindo no integral da área:
S = 2pi integral1^4 raiz4x+12;dx = pi integral1^4 raiz4x+1;dx
Fazendo a mudança u=4x+1, du=4,dx, obtemos
integral raiz4x+1;dx = 14integral u^1/2,du = 14cdot23,u^3/2 = 16(4x+1)^3/2

Passo 4

Avaliaremos de 1 a 4:
S = pi[16(4x+1)^3/2]1^4 = pi6l((17)^3/2 - (5)^3/2r)
Usando raiz17cong4,1 e raiz5cong2,2, temos
17^3/2 = 17raiz17cong17cdot4,1=69,7, 5^3/2=5raiz5cong5cdot2,2=11,0,
S cong 3,146l(69,7 - 11,0r) = 3,146cdot58,7 cong9,783cdot3,14 cong30,7 ua

Resposta

(b) 30,7 u.a.

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