21^2 Questão

Para A=lim x 1 x^2-1x-1, B=lim x 0 xraizx+1-1 e C=lim x 0 raiz1+x-(1+a x)x^2, sabendo-se que todos os limites existem e a in R, pode-se afirmar que 2 A-B+8 C é
(a) -2
(b) -1
(c) 0
(d) 1
(e) 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A = limx to 1 x^2 - 1x - 1, B = limx to 0 xraizx+1 - 1, C = limx to 0 raiz1+x - (1 + a x)x^2,
sabendo que esses limites existem e ain R. Depois, precisamos encontrar o valor de
2A - B + 8C
Para resolver, vamos usar fatoração, conjugado e desenvolvimento em série (expansão de Taylor) de raiz1+x.

Passo 2

Calcular A por fatoração. Note que
x^2 - 1 = (x-1)(x+1),
logo para x neq 1
x^2 - 1x - 1 = x + 1
Fazendo x to 1, vem
A = limxto1(x+1) = 2

Passo 3

Calcular B usando o conjugado de raizx+1-1. Escrevemos
xraizx+1-1 = x(raizx+1+1)(raizx+1-1)(raizx+1+1) = x(raizx+1+1)x = raizx+1+1
Fazendo xto0, obtemos
B = limxto0(raizx+1+1)=1+1=2

Passo 4

Para C, usamos a expansão em série de raiz1+x até a ordem x^2:
raiz1+x = 1 + x2 - x^28 + O(x^3)
Substituindo no numerador de C:
raiz1+x - (1 + a x) = l(1 + x2 - x^28 + O(x^3)r) - (1 + ax) = l(tfrac12 - ar)x - x^28 + O(x^3)
Dividindo por x^2:
raiz1+x - (1 + a x)x^2 = (tfrac12 - a)x - tfracx^28 + O(x^3)x^2 = tfrac12 - ax - 18 + O(x)
Para que o limite exista finito, é preciso anular o termo (tfrac12 - a)/x, ou seja
a = tfrac12

Passo 5

Com a=tfrac12, fica
C = limxto0l(-tfrac18 + O(x)r) = -tfrac18
Agora calculamos
2A - B + 8C = 2cdot 2 - 2 + 8l(-tfrac18r) = 4 - 2 - 1 = 1

Resposta

(d) 1

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