Questão 2. Dado a EDO
x y^{\prime}-4 y=x^{6} e^{x}
(a) ( 2.0 pontos.) Transforme essa EDO em uma EDO exata.
(b) ( 2.0 pontos). Utilize um método de solução e exiba a solução geral dessa EDO.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y^{\prime}-4y=x^{6}e^{x}
e pede duas coisas:
  1. (a) Transformar essa EDO em uma EDO exata.
  2. (b) Usar um método de solução e exibir a solução geral da EDO.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
x\,y^{\prime}-4y=x^{6}e^{x}
é uma equação envolvendo y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}. Não há condições iniciais dadas, então queremos a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma diferencial padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, porque essa é a forma usada para testar exatidão. Começamos escrevendo y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e rearranjando:
x\frac{dy}{dx}-4y-x^{6}e^{x}=0.
Multiplicando por dx obtemos
x\,dy-4y\,dx-x^{6}e^{x}\,dx=0.
Logo podemos identificar
M(x,y)=-4y-x^{6}e^{x},\qquad N(x,y)=x,
pois a equação é M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 3

Agora verificamos se a forma é exata: uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=-4,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como -4\neq 1, a equação não é exata na forma atual. Precisamos então multiplicar por um fator integrante \mu que torne a forma exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante que dependa apenas de x, \mu(x). Uma condição prática é checar se
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
depende somente de x. Calculamos:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{-4-1}{x}=\frac{-5}{x},
que depende apenas de x. Portanto existe \mu(x) dada por
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{-5}{x}\,dx\right).
Calculamos essa integral:
\int \frac{-5}{x}\,dx=-5\ln|x|=\ln|x|^{-5},
logo podemos escolher
\mu(x)=x^{-5}
(assumindo x\neq 0; o sinal absoluto incorpora o caso geral, mas trabalhamos com x não nulo).

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante \mu(x)=x^{-5}. A forma M\,dx+N\,dy=0 fica
\bigl(-4y-x^{6}e^{x}\bigr)x^{-5}\,dx + x\cdot x^{-5}\,dy=0.
Simplificando os coeficientes:
M^{*}(x,y)=-4x^{-5}y - x e^{x},\qquad N^{*}(x,y)=x^{-4}.
Verificamos a exatidão:
\frac{\partial M^{*}}{\partial y}=-4x^{-5},\qquad \frac{\partial N^{*}}{\partial x}=\frac{d}{dx}x^{-4}=-4x^{-5}.
Como as derivadas coincidem, a forma é exata. Boa — conseguimos transformar a EDO em uma EDO exata multiplicando por \mu(x)=x^{-5}.

Passo 6

Quando M^{*}\,dx+N^{*}\,dy=0 é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^{*}(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N^{*}(x,y).
Integramos \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M^{*} em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=-4x^{-5}y - x e^{x}.
Integramos termo a termo.
Primeiro termo:
\int -4x^{-5}y\,dx = -4y\int x^{-5}\,dx = -4y\left(\frac{x^{-4}}{-4}\right)=y x^{-4}.
(Explicação: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-5, então \int x^{-5}dx = x^{-4}/-4.)
Segundo termo:
\int -x e^{x}\,dx = -\int x e^{x}\,dx.
Para \int x e^{x}\,dx usamos integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
escolhemos u=x (então du=dx) e dv=e^{x}\,dx (então v=e^{x}). Assim
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} = (x-1)e^{x}.
Logo
\int -x e^{x}\,dx = -(x-1)e^{x}.
Somando os resultados obtemos uma expressão para \Phi (mais uma função arbitrária de y, pois ao integrar em x pode surgir uma “constante” que depende de y):
\Phi(x,y)=y x^{-4} - (x-1)e^{x} + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida a determinar.

Passo 7

Agora usamos a outra condição \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N^{*}(x,y) para encontrar h(y). Calculamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{-4}+h'(y).
Essa derivada deve ser igual a N^{*}(x,y)=x^{-4}. Assim
x^{-4}+h'(y)=x^{-4}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y) é constante; chamamos essa constante de C. Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=y x^{-4} - (x-1)e^{x} + C.

Passo 8

A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)=\text{constante}. Tomando a constante genérica K, podemos escrever
y x^{-4} - (x-1)e^{x}=K.
Isolando y para obter a solução explícita:
y x^{-4}=K + (x-1)e^{x}\quad\Rightarrow\quad y = x^{4}\bigl(K + (x-1)e^{x}\bigr).
Como K é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la como C. Portanto a solução geral é
y = C x^{4} + x^{4}(x-1)e^{x}.
Observação rápida e útil para a prova: essa equação também pode ser resolvida rapidamente reconhecendo-a como uma equação de primeira ordem na forma padrão y'+P(x)y=Q(x) depois de dividir por x. Nesse caso o fator integrante clássico da forma linear é \mu(x)=x^{-4}, e o cálculo dá o mesmo resultado que obtivemos acima. Mas como o enunciado pedia transformar em exata, usamos o processo de fator integrante para exatidão e integração do potencial.

Resposta

y = C x^{4} + x^{4}(x-1)e^{x}

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