Questão 2. Dado a EDO
(a) ( 2.0 pontos.) Transforme essa EDO em uma EDO exata.
(b) ( 2.0 pontos). Utilize um método de solução e exiba a solução geral dessa EDO.
(b) ( 2.0 pontos). Utilize um método de solução e exiba a solução geral dessa EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- (a) Transformar essa EDO em uma EDO exata.
- (b) Usar um método de solução e exibir a solução geral da EDO.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
é uma equação envolvendo
. Não há condições iniciais dadas, então queremos a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma diferencial padrão
, porque essa é a forma usada para testar exatidão. Começamos escrevendo
e rearranjando:
Multiplicando por
obtemos
Logo podemos identificar
pois a equação é
.
Passo 3
Agora verificamos se a forma é exata: uma equação
é exata se
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata na forma atual. Precisamos então multiplicar por um fator integrante
que torne a forma exata.
Passo 4
Procuramos um fator integrante que dependa apenas de
,
. Uma condição prática é checar se
depende somente de
. Calculamos:
que depende apenas de
. Portanto existe
dada por
Calculamos essa integral:
logo podemos escolher
(assumindo
; o sinal absoluto incorpora o caso geral, mas trabalhamos com
não nulo).
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
. A forma
fica
Simplificando os coeficientes:
Verificamos a exatidão:
Como as derivadas coincidem, a forma é exata. Boa — conseguimos transformar a EDO em uma EDO exata multiplicando por
.
Passo 6
Quando
é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Integramos termo a termo.
Primeiro termo:
(Explicação:
para
. Aqui
, então
.)
Segundo termo:
Para
usamos integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
escolhemos
(então
) e
(então
). Assim
Logo
Somando os resultados obtemos uma expressão para
(mais uma função arbitrária de
, pois ao integrar em
pode surgir uma “constante” que depende de
):
onde
é uma função desconhecida a determinar.
Passo 7
Agora usamos a outra condição
para encontrar
. Calculamos
Essa derivada deve ser igual a
. Assim
Portanto
é constante; chamamos essa constante de
. Assim a função potencial completa é
Passo 8
A solução geral implícita da equação exata é
. Tomando a constante genérica
, podemos escrever
Isolando
para obter a solução explícita:
Como
é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la como
. Portanto a solução geral é
Observação rápida e útil para a prova: essa equação também pode ser resolvida rapidamente reconhecendo-a como uma equação de primeira ordem na forma padrão
depois de dividir por
. Nesse caso o fator integrante clássico da forma linear é
, e o cálculo dá o mesmo resultado que obtivemos acima. Mas como o enunciado pedia transformar em exata, usamos o processo de fator integrante para exatidão e integração do potencial.