e pergunta se existe solução definida em \mathbb{R} que passe pelo ponto \left(x_{0},y_{0}\right).
Informações relevantes fornecidas:
A equação diferencial é \displaystyle \frac{d y}{d x}=x^{2}y+x y^{2}.
Temos uma condição inicial y(x_{0})=y_{0}, onde x_{0}\in\mathbb{R} e y_{0}\in\mathbb{R} são dados quaisquer.
A pergunta é sobre existência de solução global (definida para todo x\in\mathbb{R}) que satisfaça a condição inicial.]
Passo 2
Primeiro fato teórico útil (explicado de forma simples): se f(x,y) é contínua em x e Lipschitz em y num retângulo ao redor de (x_{0},y_{0}), então existe e é única uma solução local passando por (x_{0},y_{0}) (teorema de Picard–Lindelöf). Aqui
\displaystyle f(x,y)=x^{2}y+x y^{2}
é um polinômio em (x,y), portanto é C^{\infty} em todo \mathbb{R}^{2}: é contínuo e localmente Lipschitz em y em qualquer região fechada. Logo, para todo par (x_{0},y_{0}) existe e é única uma solução local. Mas atenção: existência local não garante que a solução exista para todo x\in\mathbb{R} — a solução pode “explodir” (tornar-se infinita) num x finito.
Passo 3
Vamos transformar a equação para um problema mais tratável e obter a solução explícita (ou uma forma que permita estudar explosões). Reescrevendo,
\displaystyle \frac{dy}{dx}-x^{2}y=x y^{2}.
Isto tem a forma da equação de Bernoulli
\displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},
com P(x)=-x^{2}, Q(x)=x e n=2. A técnica padrão para Bernoulli com n\neq 0,1 é a substituição
\displaystyle u=y^{1-n}=y^{-1}=\frac{1}{y},
válida enquanto y\neq 0. Vou explicar passo a passo a derivação: se u=1/y, então
Reconhecendo -y^{-2}\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx} e y^{-1}=u, obtemos a equação linear em u:
\displaystyle \frac{du}{dx}+x^{2}u=-x.
Observação sobre domínio: a substituição exige y\neq 0. O caso y\equiv 0 deve ser tratado separadamente (ver mais adiante).
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear
\displaystyle \frac{du}{dx}+x^{2}u=-x.
Passo a passo da técnica do fator integrante (vou explicar o porquê): para uma equação da forma \displaystyle \frac{du}{dx}+p(x)u=r(x) escolhemos o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big) porque então \frac{d}{dx}\big(\mu u\big)=\mu r. Aqui p(x)=x^{2}, então
\displaystyle y(x)=\frac{1}{u(x)}=\frac{e^{x^{3}/3}}{\,u_{0}-\Phi(x)\,},\qquad \text{(para pontos onde \(u(x)\neq 0\)).}
E, como observado antes, y\equiv 0 é solução trivial que satisfaz y(x_{0})=0.
Passo 5
Agora análise de existência global: a solução y(x) será definida enquanto u(x)\neq 0, isto é, enquanto
\displaystyle H(x):=u_{0}-\Phi(x)\neq 0.
Se existir x_{*}\in\mathbb{R} tal que H(x_{*})=0, então u(x_{*})=0 e y(x) têm uma singularidade (explodem) em x_{*} — portanto a solução não se estende até todo \mathbb{R}.
Precisamos verificar se, dado u_{0}=1/y_{0}, existe tal x_{*}. Para isso observamos o comportamento de \Phi(x).
Para x\to+\infty o integrando t\,e^{t^{3}/3} cresce muito rápido (pois o expoente \tfrac{t^{3}}{3}\to+\infty), logo
Isso pode ser justificado comparando com funções exponenciais de crescimento super-rápido ou observando que a integral impropriamente diverge para +\infty.
Consequência imediata: se u_{0} for finito (o que ocorre sempre exceto quando y_{0}=0), então existe X> x_{0} tal que \Phi(X)>u_{0}. Pelo teorema do valor intermediário, H(x)=u_{0}-\Phi(x) toma o valor 0 para algum x_{*}\in(x_{0},X] sempre que u_{0}>0. Em outras palavras, se u_{0}>0 (isto é, se y_{0}>0) então existe um x_{*}>x_{0} com H(x_{*})=0, logo u(x_{*})=0 e y(x) explode em x_{*}. Assim para qualquer condição inicial com y_{0}>0 a solução não pode ser estendida até +\infty e portanto não existe solução definida em todo \mathbb{R}.
Passo 6
Tratamento dos outros casos e conclusão final:
Caso y_{0}=0: então y\equiv 0 é solução da equação (verifique substituindo na equação original). Essa solução está definida em todo \mathbb{R}. Logo para y_{0}=0 existe solução global passando por (x_{0},0).
Caso y_{0}>0: argumentamos no passo anterior que sempre ocorre uma singularidade para algum x_{*}>x_{0}; portanto NÃO existe solução definida em todo \mathbb{R} passando por (x_{0},y_{0}).
Caso y_{0}<0: aqui u_{0}=1/y_{0}<0. Para x\ge x_{0} a função \Phi(x) é crescente e positiva, então H(x)=u_{0}-\Phi(x) permanece negativa para x\ge x_{0} (logo não zera à direita); portanto não há explosão para a direita. À esquerda (x<x_{0}) a integral \Phi(x) tende a um limite finito quando x\to -\infty, então é possível que exista ou não um x_{*}<x_{0} com H(x_{*})=0 dependendo do valor específico de u_{0}. Assim, para y_{0}<0 não se pode afirmar em geral que a solução seja global; existem dados iniciais negativos que geram solução global e outros que geram uma explosão para a esquerda — depende de y_{0}. Em particular, não é verdade que para todo y_{0}<0 exista solução definida em \mathbb{R}.
Resposta
Não, nem sempre. A única condição inicial que garante solução definida em todo \mathbb{R} é y_{0}=0 (neste caso y\equiv 0). Para y_{0}>0 a solução explode em tempo finito à direita (logo não é definida em \mathbb{R}). Para y_{0}<0 a existência global depende do valor de y_{0} (pode ou não haver explosão à esquerda).