\text{(i) a equação diferencial } \frac{d y}{d x}-3 y=0;çã
\text{(ii) a condição inicial } y(0)=5.çã]
Passo 2
Primeiro vamos manipular a equação para deixá-la numa forma mais simples. A equação pode ser escrita como
\frac{d y}{d x}=3y.
Isso é útil porque agora podemos separar as variáveis y e x — isto é, colocar todos os termos envolvendo y de um lado e os que envolvem x do outro. Separar variáveis é uma técnica em que reescrevemos a equação de modo que cada lado dependa de apenas uma variável.
Passo 3
Separe as variáveis e integre ambos os lados. Dividindo por y (tomando cuidado que y\neq0 como caso trivial) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{1}{y}\,dy = 3\,dx.
Agora integramos os dois lados (integração indefinida):
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx.
Ao integrar, usamos a primitiva \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| e \int 3\,dx = 3x + C, obtendo
\ln|y| = 3x + C,
onde C é a constante de integração.
Passo 4
Resolva a equação para y. Exponenciando ambos os lados, temos
|y| = e^{3x+C} = e^{C}e^{3x}.
Chamando A=e^{C}>0, obtemos |y|=A e^{3x}. Portanto as soluções gerais são
y = C_1 e^{3x},
onde C_1 é uma constante real (podemos absorver o sinal em C_1, então C_1 pode ser qualquer número real, inclusive zero).
Passo 5
Aplique a condição inicial y(0)=5 para determinar a constante C_1. Substituindo x=0 em y=C_1 e^{3x},
y(0)=C_1 e^{0}=C_1.
Como y(0)=5, segue que
C_1=5.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=5 e^{3x}.
Passo 6
Verificação rápida: calcule \dfrac{dy}{dx} e confira a equação original. Temos
\frac{dy}{dx}=5\cdot 3 e^{3x}=15 e^{3x}.
Como 3y=3\cdot 5 e^{3x}=15 e^{3x}, então \dfrac{dy}{dx}=3y e a condição y(0)=5 também é satisfeita. Logo a solução está correta.