Questão 1 Dado o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 2 x-y+3 z+w & =5 \\\ x+2 y-z-2 w & =-3 \\\\ 3 x+y+2 z+4 w & =10 \end{aligned}\right.
  1. [0,5 pt] Escreva o sistema linear na forma matricial A X=B.
  2. [1 pt] Usando o método de escalonamento de Gauss, encontre a forma escalonada da matriz aumentada do sistema linear A X=B.
  3. [1 pt] Escreva a solução geral desse sistema, isto é, o conjunto de soluções.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e quatro incógnitas. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Sistema dado:
\left\{\begin{aligned} 2x - y + 3z + w &= 5,\\[4pt] x + 2y - z - 2w &= -3,\\[4pt] 3x + y + 2z + 4w &= 10. \end{aligned}\right.
  • Incógnitas: x, y, z, w.
Perguntas pedidas:
  1. Escrever o sistema na forma matricial A X = B.
  2. Usar escalonamento de Gauss para encontrar a forma escalonada da matriz aumentada [\!A\mid B\!].
  3. Escrever a solução geral (conjunto de soluções) do sistema.
Agora que está claro o que o enunciado pede e quais são os dados, vamos para a resolução passo a passo.]

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar o sistema na forma matricial A X = B.
  • A é a matriz dos coeficientes (3 linhas × 4 colunas).
  • X é o vetor coluna das incógnitas.
  • B é o vetor coluna dos termos independentes (lado direito).
Escrevendo explicitamente:
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 2 & -1 & -2\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\\[4pt] w\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5\\[4pt]-3\\[4pt]10\end{pmatrix}.
Portanto a forma matricial é
A X = B.]

Passo 3

Agora vamos escalonar a matriz aumentada [\!A\mid B\!] usando o método de Gauss. Antes de mexer, explico rapidamente o que vamos fazer (tipo aula rápida):
  • A matriz aumentada é [\!A\mid B\!], ou seja, a matriz A com a coluna B anexada à direita.
  • As operações permitidas (que não mudam o conjunto de soluções) são:
    1. trocar duas linhas,
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
    3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • O objetivo do escalonamento é obter uma forma triangular (forma escalonada): cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo (pivô) mais à direita que o pivô da linha acima. Não precisamos necessariamente chegar à forma reduzida (RREF), apenas à forma escalonada pedida.
Montando a matriz aumentada inicial:
\left[\!A\mid B\!\right] = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 1 & 2 & -1 & -2 & \vline & -3\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 4 & \vline & 10 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Começamos o escalonamento. Para facilitar os cálculos, escolho como primeiro pivô a entrada 1 que está na segunda linha (essa escolha evita frações iniciais). Então troco a linha 1 com a linha 2:
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 & \vline & -3\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 4 & \vline & 10 \end{pmatrix}.
Agora eliminamos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (coluna 1):
  • R_2 := R_2 - 2R_1.
  • R_3 := R_3 - 3R_1.
Calculemos cada linha:
Para R_2:
R_2 = (2,-1,3,1\mid 5) - 2\cdot(1,2,-1,-2\mid -3) = (0,\,-5,\,5,\,5\mid 11).
Para R_3:
R_3 = (3,1,2,4\mid 10) - 3\cdot(1,2,-1,-2\mid -3) = (0,\,-5,\,5,\,10\mid 19).
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 & \vline & -3\\[4pt] 0 & -5 & 5 & 5 & \vline & 11\\[4pt] 0 & -5 & 5 & 10 & \vline & 19 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Continuamos: agora o pivô natural da segunda linha é -5 na coluna 2. Podemos usar essa linha para zerar a entrada abaixo (coluna 2, linha 3).
Operação: R_3 := R_3 - R_2.
Cálculo:
R_3 = (0,-5,5,10\mid 19) - (0,-5,5,5\mid 11) = (0,0,0,5\mid 8).
Assim obtemos a forma escalonada (já em forma triangular superior):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 & \vline & -3\\[4pt] 0 & -5 & 5 & 5 & \vline & 11\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 5 & \vline & 8 \end{pmatrix}.
Observação didática: isto é uma forma escalonada porque o primeiro não nulo de cada linha (pivô) está progressivamente mais à direita: pivô em coluna 1 na linha 1, pivô em coluna 2 na linha 2, pivô em coluna 4 na linha 3. Note que a coluna 3 não contém pivô — isso indica que a variável correspondente ( z) será uma variável livre.]

Passo 6

Agora vamos traduzir a forma escalonada de volta para equações (isso é o que se faz na prova para encontrar as soluções).
A matriz escalonada corresponde ao sistema:
\begin{aligned} &1\cdot x + 2\cdot y - 1\cdot z - 2\cdot w = -3,\\[4pt] &0\cdot x -5\cdot y + 5\cdot z + 5\cdot w = 11,\\[4pt] &0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 5\cdot w = 8. \end{aligned}
Da última equação obtemos diretamente w:
5w = 8 \quad\Rightarrow\quad w = \frac{8}{5}.
Da segunda equação:
-5y + 5z + 5w = 11.
Dividindo por -5 (para isolar y):
y - z - w = -\frac{11}{5}.
Logo
y = z + w - \frac{11}{5}.
Da primeira equação:
x + 2y - z - 2w = -3,
portanto
x = -3 - 2y + z + 2w.
Agora substituímos w=\dfrac{8}{5} e a expressão de y em termos de z e w.
Calcule y explicitamente:
y = z + \frac{8}{5} - \frac{11}{5} = z - \frac{3}{5}.
Agora calcule x:
\begin{aligned} x &= -3 - 2\left(z - \frac{3}{5}\right) + z + 2\cdot\frac{8}{5}\\[4pt] &= -3 - 2z + \frac{6}{5} + z + \frac{16}{5}\\[4pt] &= -3 - z + \frac{22}{5}\\[4pt] &= -\frac{15}{5} - z + \frac{22}{5} = \frac{7}{5} - z. \end{aligned}]

Passo 7

Identificação de variáveis livres e escrita da solução geral:
  • A variável z aparece sem pivô na sua coluna, então é variável livre. Denote z = t, com t\in\mathbb{R}.
  • Já determinamos w = \dfrac{8}{5} (valor fixo).
  • Obtivemos y = z - \dfrac{3}{5} = t - \dfrac{3}{5}.
  • Obtivemos x = \dfrac{7}{5} - z = \dfrac{7}{5} - t.
Portanto a solução geral (conjunto de todas as soluções) pode ser escrita como
(x,y,z,w) = \left(\frac{7}{5}-t,\; t-\frac{3}{5},\; t,\; \frac{8}{5}\right),\qquad t\in\mathbb{R}.
Também pode-se separar em uma solução particular mais um múltiplo da direção da liberdade:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\\[4pt]w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{5}\\[4pt]-\tfrac{3}{5}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{8}{5}\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso já responde a parte (3): o conjunto de soluções está parametrizado por t.]

Resposta

A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 2 & -1 & -2\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\\[4pt]w\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5\\[4pt]-3\\[4pt]10\end{pmatrix}
\text{Forma escalonada da matriz aumentada:}\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2 & \vline & -3\\[4pt] 0 & -5 & 5 & 5 & \vline & 11\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 5 & \vline & 8 \end{pmatrix}
\text{Solução geral:}\qquad \{(x,y,z,w)=\big(\tfrac{7}{5}-t,\;t-\tfrac{3}{5},\;t,\;\tfrac{8}{5}\big)\mid t\in\mathbb{R}\}.çã]

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