Agora vamos escalonar a matriz aumentada [\!A\mid B\!] usando o método de Gauss. Antes de mexer, explico rapidamente o que vamos fazer (tipo aula rápida):
A matriz aumentada é [\!A\mid B\!], ou seja, a matriz A com a coluna B anexada à direita.
As operações permitidas (que não mudam o conjunto de soluções) são:
trocar duas linhas,
multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo do escalonamento é obter uma forma triangular (forma escalonada): cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo (pivô) mais à direita que o pivô da linha acima. Não precisamos necessariamente chegar à forma reduzida (RREF), apenas à forma escalonada pedida.
Começamos o escalonamento. Para facilitar os cálculos, escolho como primeiro pivô a entrada 1 que está na segunda linha (essa escolha evita frações iniciais). Então troco a linha 1 com a linha 2:
Observação didática: isto é uma forma escalonada porque o primeiro não nulo de cada linha (pivô) está progressivamente mais à direita: pivô em coluna 1 na linha 1, pivô em coluna 2 na linha 2, pivô em coluna 4 na linha 3. Note que a coluna 3 não contém pivô — isso indica que a variável correspondente (z) será uma variável livre.]
Passo 6
Agora vamos traduzir a forma escalonada de volta para equações (isso é o que se faz na prova para encontrar as soluções).
A matriz escalonada corresponde ao sistema:
\begin{aligned} &1\cdot x + 2\cdot y - 1\cdot z - 2\cdot w = -3,\\[4pt] &0\cdot x -5\cdot y + 5\cdot z + 5\cdot w = 11,\\[4pt] &0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 5\cdot w = 8. \end{aligned}
Da última equação obtemos diretamente w:
5w = 8 \quad\Rightarrow\quad w = \frac{8}{5}.
Da segunda equação:
-5y + 5z + 5w = 11.
Dividindo por -5 (para isolar y):
y - z - w = -\frac{11}{5}.
Logo
y = z + w - \frac{11}{5}.
Da primeira equação:
x + 2y - z - 2w = -3,
portanto
x = -3 - 2y + z + 2w.
Agora substituímos w=\dfrac{8}{5} e a expressão de y em termos de z e w.
Calcule y explicitamente:
y = z + \frac{8}{5} - \frac{11}{5} = z - \frac{3}{5}.
Agora calcule x:
\begin{aligned} x &= -3 - 2\left(z - \frac{3}{5}\right) + z + 2\cdot\frac{8}{5}\\[4pt] &= -3 - 2z + \frac{6}{5} + z + \frac{16}{5}\\[4pt] &= -3 - z + \frac{22}{5}\\[4pt] &= -\frac{15}{5} - z + \frac{22}{5} = \frac{7}{5} - z. \end{aligned}]
Passo 7
Identificação de variáveis livres e escrita da solução geral:
A variável z aparece sem pivô na sua coluna, então é variável livre. Denote z = t, com t\in\mathbb{R}.
Já determinamos w = \dfrac{8}{5} (valor fixo).
Obtivemos y = z - \dfrac{3}{5} = t - \dfrac{3}{5}.
Obtivemos x = \dfrac{7}{5} - z = \dfrac{7}{5} - t.
Portanto a solução geral (conjunto de todas as soluções) pode ser escrita como