Questão 3. Dados os pontos e , determine todos os pontos tais que , para todo t in R. Entre esses pontos, dois deles, P1=(a1, b1, c1) e P2=(a2, b2, c2) são tais que o ângulo entre O A e O Pi(i=1,2) é pi4. As terceiras coordenadas dos pontos P1 e P2 são dadas por
a 1+3 raiz54, 1-3 raiz54
b) 9-3 raiz54, 9+3 raiz54
(c) 5+3 raiz52, 5-3 raiz52
d 9-3 raiz8, 9+3 raiz8
e 5-3 raiz8, 5-3 raiz8
f. 1-3 raiz8, 1+3 raiz8
g -8-3 raiz8,-8+3 raiz8
h 8+3 raiz8, 8-3 raiz8
Passo 1
O enunciado dá os pontos A=(2,2,1) e B=(-2,2,0) e pede todos os X=(x,y,z) tais que
AX=t,AB, tinR,
ou seja, todos os X estão numa reta que passa por A na direção de AB. Depois, entre esses X existem dois pontos P1 e P2 para os quais o ângulo entre OA e OPi vale pi/4.
Conteúdos necessários: equação paramétrica de reta em geometria vetorial e condição de ângulo entre vetores via produto escalar.
Passo 2
Calcular o vetor direção
AB=B-A = (-2-2,;2-2,;0-1)=(-4,,0,,-1)
Logo a equação paramétrica da reta é
X = A + t,AB Longrightarrow (x,y,z) = (2-4t,;2,;1-t)
Passo 3
Para impor que o ângulo entre OA e OX seja pi/4, usamos
costheta =OAcdotOX|OA|;|OX| com theta=pi4,;cospi4=raiz22