Questão 3. Dados os pontos A=(2,2,1) e B=(-2,2,0), determine todos os pontos X= (x, y, z) tais que A X=t A B, para todo t in R. Entre esses pontos, dois deles, P1=(a1, b1, c1) e P2=(a2, b2, c2) são tais que o ângulo entre O A e O Pi(i=1,2) é pi4. As terceiras coordenadas dos pontos P1 e P2 são dadas por
a 1+3 raiz54, 1-3 raiz54
b) 9-3 raiz54, 9+3 raiz54
(c) 5+3 raiz52, 5-3 raiz52
d 9-3 raiz8, 9+3 raiz8
e 5-3 raiz8, 5-3 raiz8
f. 1-3 raiz8, 1+3 raiz8
g -8-3 raiz8,-8+3 raiz8
h 8+3 raiz8, 8-3 raiz8

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,2,1) e B=(-2,2,0) e pede todos os X=(x,y,z) tais que
AX=t,AB, tinR,
ou seja, todos os X estão numa reta que passa por A na direção de AB. Depois, entre esses X existem dois pontos P1 e P2 para os quais o ângulo entre OA e OPi vale pi/4.
Conteúdos necessários: equação paramétrica de reta em geometria vetorial e condição de ângulo entre vetores via produto escalar.

Passo 2

Calcular o vetor direção
AB=B-A = (-2-2,;2-2,;0-1)=(-4,,0,,-1)
Logo a equação paramétrica da reta é
X = A + t,AB Longrightarrow (x,y,z) = (2-4t,;2,;1-t)

Passo 3

Para impor que o ângulo entre OA e OX seja pi/4, usamos
costheta =OAcdotOX|OA|;|OX| com theta=pi4,;cospi4=raiz22
Aqui
OA=(2,2,1) e OX=(2-4t,,2,,1-t).

Passo 4

Calcular produto escalar e normas quadradas:
OAcdotOX =2(2-4t)+2cdot2+1,(1-t) =9-9t,
|OA|^2 =2^2+2^2+1^2=9, |OX|^2 =(2-4t)^2+2^2+(1-t)^2 =17t^2-18t+9
A condição l(OAcdotOXr)^2 =|OA|^2|OX|^2cos^2pi4 vira
(9-9t)^2 = l(9,(17t^2-18t+9)r)12

Passo 5

Expandindo e simplificando:
81(t^2-2t+1)=153t^2-162t+812 ;Longrightarrow; 9t^2-162t+81=0 ;Longrightarrow; t^2-18t+9=0
t=9pm6raiz2

Passo 6

Os pontos Pi correspondem a esses t. A terceira coordenada é
z=1-t Longrightarrow z1=1-(9+6raiz2)=-8-6raiz2, z2=1-(9-6raiz2)=-8+6raiz2
Como 6raiz2=3raiz8, o conjunto é
-8-3raiz8,,-8+3raiz8.

Resposta

g) -8-3raiz8,,-8+3raiz8

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