Resolva as seguintes equações:
4^x^2-1=8^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4^x^2-1 = 8^x
O conteúdo principal aqui é manipulação de potências e mudança de base de expoentes. Vamos usar as propriedades
(a^m)^n = a^mn e se a>0, aneq1, então a^A=a^BRightarrow A=B ã

Passo 2

Reescrevendo as bases em potência de 2, temos
4 = 2^2 e 8 = 2^3
Logo,
4^x^2-1 = (2^2)^x^2-1 = 2^2,(x^2-1) = 2^2x^2-2
e
8^x = (2^3)^x = 2^3x

Passo 3

Como as duas expressões são potências de 2 e 2>0, 2neq1, podemos igualar os expoentes:
2x^2-2 = 3x
Isso gera a equação quadrática
2x^2-3x-2 = 0

Passo 4

Para resolver 2x^2-3x-2=0, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot2cdot(-2)2cdot2 = 3 pm raiz9 + 164 = 3 pm 54
Isso dá as raízes
x1 = 3+54 = 2, x2 = 3-54 = -tfrac12

Resposta

As soluções da equação são
x = 2 e x = -tfrac12

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