Encontre as equações simétricas da reta que passa por A(3,2,-1) e é simultaneamente ortogonal às retas
r1:l x=3 y=-1 e r2:c y=-x z=3+x

Passo 1

O enunciado pede as equações simétricas da reta que passa por A(3,2,-1) e é ortogonal simultaneamente às retas
r1: ;x=3,;y=-1
e
r2:;y=-x,;z=3+x
O conteúdo usado será vetores diretores e produto vetorial para obter um vetor ortogonal a dois outros.

Passo 2

Encontramos um vetor diretor de cada reta.
Para r1, como x e y são constantes e z varia, um vetor diretor é
v1 = (0,0,1)
Para r2, parametrizamos por x=t, então y=-t e z=3+t, dando
v2 = (1,-1,1)

Passo 3

O vetor diretor da reta buscada deve ser ortogonal a v1 e v2. Usamos o produto vetorial:
d = v1 times v2 = i & j & k 0 & 0 & 1 1 & -1 & 1 = (1,1,0)

Passo 4

A reta passa por A(3,2,-1) e tem vetor diretor d=(1,1,0). Sua equação simétrica é
x-31 ;=;y-21;=;z+10
Como dividir por zero implica z+1=0, concluímos z=-1.

Resposta

x-31 = y-21, z = -1

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