Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=\mathcal{F}(X, \mathbb{R}) e W=\{f: X \rightarrow \mathbb{R} \mid f(0)=0\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial real V=\mathcal{F}(X,\mathbb{R}) (o conjunto de todas as funções f\colon X\to\mathbb{R} com as operações usuais) e o subconjunto
W=\{\,f\colon X\to\mathbb{R}\mid f(0)=0\,\}.
A pergunta é: decidir se W é um subespaço vetorial de V. Se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma de subespaço falha.

Passo 2

Vamos lembrar, com calma, o que significa ser subespaço. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço quando:
  1. W não é vazio (equivalente: contém o vetor zero de V);
  2. W é fechado sob soma: para quaisquer f,g\in W tem-se f+g\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer c\in\mathbb{R} e f\in W tem-se c f\in W.
Essas três verificações são suficientes porque os demais axiomas de espaço vetorial (associatividade, existência de soma nula, distributividades, etc.) já valem em V e são herdados por qualquer subconjunto que satisfaça as propriedades acima.
Também preciso explicitar como são as operações em V=\mathcal{F}(X,\mathbb{R}): para f,g\in V e c\in\mathbb{R},
(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (c f)(x)=c\cdot f(x)
para todo x\in X. Ou seja, soma e multiplicação por escalar são feitas ponto a ponto.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (ou que contém o vetor zero).
Defina a função zero 0_V\in V por 0_V(x)=0 para todo x\in X. Então, em particular,
0_V(0)=0,
logo 0_V\in W. Conclusão: W não é vazio e contém o vetor zero de V.
Comentário didático: mostrar que o zero pertence a W é o jeito mais simples de garantir que o subconjunto não é vazio e que a propriedade “existência do vetor nulo” do espaço vetorial é satisfeita dentro de W.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam f,g\in W. Por definição de W temos f(0)=0 e g(0)=0. Pela definição da soma ponto a ponto,
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0.
Portanto (f+g)(0)=0, o que significa que f+g\in W. Conclusão: W é fechado sob soma.
Comentário didático: usamos que a condição que define W é uma equação avaliada no ponto 0; somar duas funções que valem zero em 0 dá outra função que vale zero em 0.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Tomemos c\in\mathbb{R} e f\in W. Pela definição de W temos f(0)=0. Pela multiplicação por escalar ponto a ponto,
(c f)(0)=c\cdot f(0)=c\cdot 0=0.
Logo c f\in W. Conclusão: W é fechado sob multiplicação por escalar.
Comentário didático: isso cobre também o caso do inverso aditivo, pois escolhendo c=-1 obtemos -f\in W.

Passo 6

Como já mostramos que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W satisfaz os critérios necessários para ser subespaço de V. Os demais axiomas de espaço vetorial são herdados de V, portanto não é necessário verificá‑los de novo.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V=\mathcal{F}(X,\mathbb{R}).

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