Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
e
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial real
(o conjunto de todas as funções
com as operações usuais) e o subconjunto
A pergunta é: decidir se
é um subespaço vetorial de
. Se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma de subespaço falha.
Passo 2
Vamos lembrar, com calma, o que significa ser subespaço. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço quando:
-
não é vazio (equivalente: contém o vetor zero de ); -
é fechado sob soma: para quaisquer tem-se ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e tem-se .
Essas três verificações são suficientes porque os demais axiomas de espaço vetorial (associatividade, existência de soma nula, distributividades, etc.) já valem em
e são herdados por qualquer subconjunto que satisfaça as propriedades acima.
Também preciso explicitar como são as operações em
: para
e
,
para todo
. Ou seja, soma e multiplicação por escalar são feitas ponto a ponto.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (ou que contém o vetor zero).
Defina a função zero
por
para todo
. Então, em particular,
logo
. Conclusão:
não é vazio e contém o vetor zero de
.
Comentário didático: mostrar que o zero pertence a
é o jeito mais simples de garantir que o subconjunto não é vazio e que a propriedade “existência do vetor nulo” do espaço vetorial é satisfeita dentro de
.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
. Por definição de
temos
e
. Pela definição da soma ponto a ponto,
Portanto
, o que significa que
. Conclusão:
é fechado sob soma.
Comentário didático: usamos que a condição que define
é uma equação avaliada no ponto
; somar duas funções que valem zero em
dá outra função que vale zero em
.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Tomemos
e
. Pela definição de
temos
. Pela multiplicação por escalar ponto a ponto,
Logo
. Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.
Comentário didático: isso cobre também o caso do inverso aditivo, pois escolhendo
obtemos
.
Passo 6
Como já mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
satisfaz os critérios necessários para ser subespaço de
. Os demais axiomas de espaço vetorial são herdados de
, portanto não é necessário verificá‑los de novo.