Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
e
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial real
(o espaço de todas as funções de
em
) e o subconjunto
A pergunta é: decidir se
é subespaço vetorial de
. Se for subespaço, demonstrar; se não for, indicar qual axioma (ou axiomas) falham.
Passo 2
Método escolhido: usar os critérios elementares para subespaço. Explicando devagarinho:
- Um subconjunto
é subespaço vetorial de exatamente quando, considerando a soma e multiplicação por escalar herdadas de , -
contém o vetor nulo de (o elemento identidade aditiva); -
é fechado em relação à adição: se então ; -
é fechado em relação à multiplicação por escalares: se e então .
-
Por que esses três? Porque qualquer subespaço deve satisfazer todos os axiomas de espaço vetorial; desses axiomas seguem imediatamente a existência do vetor nulo e as propriedades de fechamento acima. Verificar qualquer uma dessas falhas já basta para concluir que não é subespaço.
Passo 3
Definição útil: o vetor nulo de
é a função
dada por
Esse é o elemento identidade aditiva: para qualquer
vale
.
Agora verifiquemos se
. Calcula-se
mas para pertencer a
uma função precisa satisfazer
. Logo
, portanto
.
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior: como o axioma da existência do vetor nulo (identidade aditiva) é obrigatório para qualquer subespaço, e
não contém o vetor nulo de
, concluímos já neste ponto que
não pode ser subespaço vetorial de
. Ou seja, o axioma que falha é o da existência do elemento neutro aditivo (o vetor nulo).
Passo 5
Para reforçar e ensinar como checar outras propriedades, veja por exemplos concretos que também mostram falha do fechamento.
Considere a função constante
definida por
Claramente
porque
. Tome outra função
(ou seja, a mesma função). Então
portanto
, isto é,
. Assim
não é fechado sob adição.
Passo 6
Verificação da multiplicação por escalar com um exemplo simples: usando a mesma
do passo anterior e o escalar
,
logo
. Assim
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 7
Conclusão final do raciocínio: bastou observar que o vetor nulo não pertence a
para concluir que
não é subespaço de
. Exemplos concretos (soma de duas funções em
e multiplicação por
) mostram também a falha do fechamento por adição e por escalares. Portanto
não satisfaz os axiomas necessários.
Resposta
Não —
não é subespaço vetorial de
; falha o axioma da existência do vetor nulo (e, consequentemente, o fechamento em adição e em multiplicação por escalares).