Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=\mathcal{F}(X, \mathbb{R}) e W=\{f: X \rightarrow \mathbb{R} \mid f(0)=2\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial real V=\mathcal{F}(X,\mathbb{R}) (o espaço de todas as funções de X em \mathbb{R}) e o subconjunto
W=\{\,f:X\to\mathbb{R}\mid f(0)=2\,\}.
A pergunta é: decidir se W é subespaço vetorial de V. Se for subespaço, demonstrar; se não for, indicar qual axioma (ou axiomas) falham.

Passo 2

Método escolhido: usar os critérios elementares para subespaço. Explicando devagarinho:
  • Um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial de V exatamente quando, considerando a soma e multiplicação por escalar herdadas de V,
    1. W contém o vetor nulo de V (o elemento identidade aditiva);
    2. W é fechado em relação à adição: se u,v\in W então u+v\in W;
    3. W é fechado em relação à multiplicação por escalares: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Por que esses três? Porque qualquer subespaço deve satisfazer todos os axiomas de espaço vetorial; desses axiomas seguem imediatamente a existência do vetor nulo e as propriedades de fechamento acima. Verificar qualquer uma dessas falhas já basta para concluir que não é subespaço.

Passo 3

Definição útil: o vetor nulo de V=\mathcal{F}(X,\mathbb{R}) é a função 0_V:X\to\mathbb{R} dada por
0_V(x)=0\quad\text{para todo }x\in X.
Esse é o elemento identidade aditiva: para qualquer h\in V vale h+0_V=h.
Agora verifiquemos se 0_V\in W. Calcula-se
0_V(0)=0,
mas para pertencer a W uma função precisa satisfazer f(0)=2. Logo 0_V(0)=0\neq 2, portanto 0_V\notin W.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: como o axioma da existência do vetor nulo (identidade aditiva) é obrigatório para qualquer subespaço, e W não contém o vetor nulo de V, concluímos já neste ponto que W não pode ser subespaço vetorial de V. Ou seja, o axioma que falha é o da existência do elemento neutro aditivo (o vetor nulo).

Passo 5

Para reforçar e ensinar como checar outras propriedades, veja por exemplos concretos que também mostram falha do fechamento.
Considere a função constante f:X\to\mathbb{R} definida por
f(x)=2\quad\text{para todo }x\in X.
Claramente f\in W porque f(0)=2. Tome outra função g=f (ou seja, a mesma função). Então
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=2+2=4,
portanto (f+g)(0)=4\neq 2, isto é, f+g\notin W. Assim W não é fechado sob adição.

Passo 6

Verificação da multiplicação por escalar com um exemplo simples: usando a mesma f do passo anterior e o escalar \lambda=0,
(0\cdot f)(0)=0\cdot f(0)=0\cdot 2=0\neq 2,
logo 0\cdot f\notin W. Assim W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio: bastou observar que o vetor nulo não pertence a W para concluir que W não é subespaço de V. Exemplos concretos (soma de duas funções em W e multiplicação por \lambda=0) mostram também a falha do fechamento por adição e por escalares. Portanto W não satisfaz os axiomas necessários.

Resposta

Não — W não é subespaço vetorial de V; falha o axioma da existência do vetor nulo (e, consequentemente, o fechamento em adição e em multiplicação por escalares).

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