Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=\mathcal{F}(X, \mathbb{R}) e W=\{f: X \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x) \leq 0, \forall x \in X\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto W é subespaço vetorial de V. Informações dadas:
  • O espaço ambiente é V=\mathcal{F}(X,\mathbb{R}), o conjunto de todas as funções f:X\to\mathbb{R}.
  • O subconjunto é W=\{\,f:X\to\mathbb{R}\mid f(x)\leq 0,\\ \forall x\in X\,\}.
  • A pergunta: decidir se W é subespaço; se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma falha.

Passo 2

Lembrete didático: definição prática de subespaço.
Um subconjunto S\subseteq V (onde V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}) é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes (vamos usar a forma padrão):
  1. O vetor zero de V pertence a S.
  2. S é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in S vale u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares: para qualquer a\in\mathbb{R} e qualquer u\in S vale a u\in S.
Explicação sobre operações em V=\mathcal{F}(X,\mathbb{R}): adição e multiplicação por escalar são feitas ponto a ponto, isto é, para f,g\in V e a\in\mathbb{R},
(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (a f)(x)=a\cdot f(x)
para todo x\in X. O vetor zero é a função 0:X\to\mathbb{R} dada por 0(x)=0 para todo x.

Passo 3

Verificação do zero: a função zero 0 satisfaz 0(x)=0\leq 0 para todo x\in X. Logo 0\in W. O primeiro requisito está OK.

Passo 4

Verificação da adição (fechamento sob soma): seja f,g\in W. Por definição, f(x)\leq 0 e g(x)\leq 0 para todo x\in X. Somando as desigualdades ponto a ponto temos
(f+g)(x)=f(x)+g(x)\leq 0+0=0
para todo x\in X. Assim f+g\in W. Portanto W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificação da multiplicação por escalares (fechamento sob escalares): devemos testar se para todo a\in\mathbb{R} e todo f\in W vale a f\in W. Observe que se a\geq 0 e f(x)\leq 0 então (a f)(x)=a f(x)\leq 0, então escalares não-negativos preservam a propriedade. Mas a definição exige que isso valha para todo a\in\mathbb{R}, inclusive números negativos.
Apresento um contraexemplo simples que quebra o axioma: considere a função constante f definida por f(x)=-1 para todo x\in X. Então f\in W porque -1\leq 0. Tome o escalar a=-1. Então
(a f)(x)=(-1)\cdot(-1)=1
para todo x\in X. Logo (a f)(x)=1>0 para todo x, ou seja a f\notin W. Isso mostra que W NÃO é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Conclusão do raciocínio: W satisfaz conter o zero e é fechado sob adição, mas falha em ser fechado sob multiplicação por escalares (como mostrou o contraexemplo com f(x)=-1 e a=-1). Portanto W não é subespaço vetorial de V.

Resposta

Não; W não é subespaço de V. Falha o axioma de fechamento por multiplicação por escalares (por exemplo, f(x)=-1\in W e a=-1 dão a f\notin W).

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