Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
e
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto
é subespaço vetorial de
. Informações dadas:
- O espaço ambiente é
, o conjunto de todas as funções . - O subconjunto é
. - A pergunta: decidir se
é subespaço; se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma falha.
Passo 2
Lembrete didático: definição prática de subespaço.
Um subconjunto (onde
é um espaço vetorial sobre
) é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes (vamos usar a forma padrão):
Um subconjunto
- O vetor zero de
pertence a . -
é fechado sob adição: para quaisquer vale . -
é fechado sob multiplicação por escalares: para qualquer e qualquer vale .
Explicação sobre operações em
: adição e multiplicação por escalar são feitas ponto a ponto, isto é, para
e
,
para todo
. O vetor zero é a função
dada por
para todo
.
Passo 3
Verificação do zero: a função zero
satisfaz
para todo
. Logo
. O primeiro requisito está OK.
Passo 4
Verificação da adição (fechamento sob soma): seja
. Por definição,
e
para todo
. Somando as desigualdades ponto a ponto temos
para todo
. Assim
. Portanto
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificação da multiplicação por escalares (fechamento sob escalares): devemos testar se para todo
e todo
vale
. Observe que se
e
então
, então escalares não-negativos preservam a propriedade. Mas a definição exige que isso valha para todo
, inclusive números negativos.
Apresento um contraexemplo simples que quebra o axioma: considere a função constante
definida por
para todo
. Então
porque
. Tome o escalar
. Então
para todo
. Logo
para todo
, ou seja
. Isso mostra que
NÃO é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Conclusão do raciocínio:
satisfaz conter o zero e é fechado sob adição, mas falha em ser fechado sob multiplicação por escalares (como mostrou o contraexemplo com
e
). Portanto
não é subespaço vetorial de
.
Resposta
Não;
não é subespaço de
. Falha o axioma de fechamento por multiplicação por escalares (por exemplo,
e
dão
).