Questão 6.5
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(1,2,-2,1), w=(2,-1,3,0) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado faz as seguintes perguntas:
  • (a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
  • (b) Para um subespaço vetorial não trivial W (referido na questão anterior) determine uma base \alpha e a dimensão de W.
  • (c) Verifique se os vetores \boldsymbol{v}=(1,2,-2,1) e \boldsymbol{w}=(2,-1,3,0) pertencem a W.
  • (d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W ou pode fazer parte de uma base de W. Justifique.
  • (e) Calcule o ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, em graus com precisão de uma casa decimal.
Informações dadas explicitamente no enunciado:
\boldsymbol{v}=(1,2,-2,1),\qquad \boldsymbol{w}=(2,-1,3,0).
Informação que falta: o enunciado refere-se a um subespaço W definido na “questão anterior”, mas essa definição de W não foi fornecida aqui. Como resultado, não posso calcular explicitamente a base nem testar a pertença de vetores a W sem saber como W é descrito (por exemplo: por equações lineares, por geradores, por uma condição geométrica, etc.). Vou, portanto:
  • (a) dar a definição pedida e explicar didaticamente como proceder na prova;
  • explicar, passo a passo, os métodos para responder (b), (c) e (d) assim que W for conhecida (dou exemplos ilustrativos);
  • efetuar o cálculo numérico de (e) porque ele depende só de \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, que foram fornecidos.

Passo 2

(a) Definições — eu explico devagar e com exemplos:
  • Definição de base: uma família de vetores \{ \boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_k\} em um espaço vetorial V é uma base de V se dois requisitos acontecem simultaneamente:
    1. os vetores geram V, ou seja, \operatorname{span}\{\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_k\}=V. Isso significa que qualquer vetor \boldsymbol{x}\in V pode ser escrito como combinação linear
    \boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{b}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{b}_kpara alguns escalares c_1,\dots,c_k.
    2. os vetores são linearmente independentes: a única solução do sistema a_1\boldsymbol{b}_1+\cdots+a_k\boldsymbol{b}_k=\boldsymbol{0}é a_1=\cdots=a_k=0.
  • Definição de dimensão: a dimensão de um espaço vetorial V, denotada \dim(V), é o número de vetores de qualquer base de V. Em espaços finito-dimensionais todas as bases têm o mesmo número de vetores, por isso essa definição faz sentido.
Exemplo simples e concreto:
  • No espaço \mathbb{R}^2, o conjunto \{(1,0),(0,1)\} é uma base porque gera todo \mathbb{R}^2 e é independente; portanto \dim(\mathbb{R}^2)=2.
  • Outro conjunto \{(1,1),(1,-1)\} também é base de \mathbb{R}^2: qualquer (x,y) pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores e eles não são múltiplos um do outro (logo independentes).
Por que isso é útil na prova? Porque para mostrar que um conjunto é base você tem que provar exatamente essas duas coisas (geração e independência). Para encontrar uma base de um subespaço normalmente você reduz um sistema linear associado e extrai vetores-pivô.

Passo 3

(b) Como determinar uma base \alpha e \dim(W) — método prático (passo a passo) dependendo da forma como W é apresentado.
Caso 1 — W é dado por geradores: W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}.
  • Monte uma matriz U cujas colunas (ou linhas) sejam os vetores \boldsymbol{u}_i.
  • Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para obter a forma escalonada. Os vetores correspondentes às colunas-pivô formam uma base de W.
  • A dimensão \dim(W) é o número de colunas-pivô (o posto da matriz).
Ilustração rápida:
Suponha W=\operatorname{span}\{(1,0,1,2),(2,1,0,1),(3,1,1,3)\}. Coloco como colunas e reduzo; os vetores independentes que restarem formam uma base; o número deles é a dimensão.
Caso 2 — W é dado por equações lineares (sistema homogêneo): W=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\mid A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}.
  • Faça eliminação de Gauss em A para achar as variáveis livres; escreva a solução geral em termos dos parâmetros livres.
  • As soluções fundamentais obtidas (vetores associados a cada parâmetro livre) formam uma base de W.
  • A dimensão é o número de parâmetros livres, que é n-\operatorname{rank}(A).
Exemplo ilustrativo (com números para ver o processo):
Suponha A é 2\times 4 e, após reduzir, o posto é 2. Então o espaço solução tem 4-2=2 parâmetros livres; assim \dim(W)=2 e você obterá duas soluções paramétricas que são base de W.
Observação importante: sem a descrição precisa de W (geradores ou equações), não consigo fornecer a base \alpha nem o valor numérico de \dim(W). Se você me mandar como W foi definido na questão anterior (por exemplo, uma lista de vetores que geram W ou um sistema de equações que define W), eu aplico este procedimento diretamente e mostro cada linha da eliminação.

Passo 4

(c) Como verificar se \boldsymbol{v} ou \boldsymbol{w} pertencem a W — métodos e exemplo de aplicação (didático):
Duas formas usuais:
  • Se W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}: para verificar se \boldsymbol{v}\in W resolva o sistema linear c_1\boldsymbol{u}_1+\cdots+c_m\boldsymbol{u}_m=\boldsymbol{v}Se o sistema for compatível, então \boldsymbol{v}\in W. Faça eliminação de Gauss e verifique consistência.
  • Se W é solução de A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}: basta verificar se A\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}. Se sim, \boldsymbol{v}\in W; caso contrário, \boldsymbol{v}\notin W.
Exemplo ilustrativo (mostro o tipo de conta que você faria): suponha que W é solução do sistema
x_1+x_2+x_3+x_4=0,\qquad x_2-x_3+2x_4=0.
Para testar \boldsymbol{v}=(1,2,-2,1), substituo nos dois equações:
1+2+(-2)+1=2\neq 0,
logo \boldsymbol{v}\notin W nesse exemplo. (Isto é só um exemplo de como checar; não estou afirmando que essas equações definem o W do seu enunciado, pois essa informação não foi enviada.)
Conclusão prática: sem a definição de W dada na questão anterior eu não posso afirmar se \boldsymbol{v} ou \boldsymbol{w} pertencem a W. Se você me passar a definição de W eu faço a conta e te digo direitinho, mostrando cada passo da eliminação.

Passo 5

(d) Sobre se [\beta={\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}}) é base ou pode ser parte de uma base de W: análise geral e verificação de independência (aplico aos vetores dados).
Condições para \beta ser base de W:
  • Precisa que ambos os vetores pertençam a W.
  • Precisa que \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} seja linearmente independente.
  • Precisa que o espaço W seja gerado por esses dois vetores; em outras palavras, se \dim(W)=2 e os dois pertencem a W e são independentes, então eles são uma base.
Se \dim(W)>2 e ambos os vetores pertencem a W e são independentes, então \beta não é base completa (porque faltam vetores para gerar todo W) mas pode ser estendida a uma base (teorema de extensão de bases). Se \dim(W)=1 então não é possível ter dois vetores independentes em W.
Agora eu verifico a independência de \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} explicitamente (isso não depende de W, só dos próprios vetores). Para checar independência, resolvo
a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] 2a-b=0,\\[4pt] -2a+3b=0,\\[4pt] a+0\cdot b=0. \end{cases}
Da quarta equação obtemos a=0\]. Substituindo em \(a+2b=0 2b=0, logo b=0. Assim a única solução é a=b=0. Conclusão: \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é um conjunto linearmente independente.
Portanto:
  • Se ambos \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W e \dim(W)=2, então \beta é uma base de W.
  • Se ambos pertencem a W e \dim(W)>2, então \beta não é uma base completa, mas pode ser estendida a uma base de W (pois é independente).
  • Se algum deles não pertence a W, \beta não é subconjunto de W e, portanto, não pode ser base nem extensão de base de W.
Eu mostrei que \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} são linearmente independentes; faltando a definição de W não posso dizer se pertencem a W, logo não posso concluir definitivamente se \beta é base de W sem essa informação.]

Passo 6

(e) Cálculo do ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} — cálculo efetivo, passo a passo.
Fórmula: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} é dado por
\cos\theta=\dfrac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}}{\|\boldsymbol{v}\|\,\|\boldsymbol{w}\|},
onde \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w} é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma Euclidiana.
  1. Produto escalar:
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + (-2)\cdot 3 + 1\cdot 0 = 2-2-6+0=-6.
  1. Normas:
\|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{1+4+4+1}=\sqrt{10}.
\|\boldsymbol{w}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2+0^2}=\sqrt{4+1+9+0}=\sqrt{14}.
  1. Cosseno:
\cos\theta=\dfrac{-6}{\sqrt{10}\,\sqrt{14}}=\dfrac{-6}{\sqrt{140}}=\dfrac{-3}{\sqrt{35}}.
  1. Agora o ângulo \theta em graus:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-3}{\sqrt{35}}\right).
Numericamente, \dfrac{-3}{\sqrt{35}}\approx -0,50636. Portanto
\theta\approx 120{,}4^\circ
(arredondamento para uma casa decimal).

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores que gera V e é linearmente independente. A dimensão \dim(V) é o número de vetores de qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar \alpha nem \dim(W) porque a definição concreta de W (da “questão anterior”) não foi fornecida. (Expliquei no passo 3 o procedimento para obter ambos assim que W for informada.)
(c) Não é possível afirmar se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W sem conhecer a definição de W. (Expliquei no passo 4 como testar pertença.)
(d) \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é linearmente independente (mostrei a verificação no passo 5). Portanto, se ambos pertencerem a W e \dim(W)=2 então \beta é uma base de W; se ambos pertencerem a W e \dim(W)>2 então \beta não é base completa mas pode ser estendida a uma base; se algum não pertencer a W então \beta não pode ser base de W. Não posso decidir qual caso vale sem a definição de W.
(e) \theta\approx 120{,}4^\circ.

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