Questão 6.6
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial
Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(2,1,-3,4), w=(0,-2,1,3) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
Vou listar com clareza O QUE o enunciado pede e o que ele me deu.
Perguntas do enunciado:
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Para um subespaço vetorial não trivial chamado W (referido na questão anterior), determine uma base \alpha de W e a dimensão de W.
c) Determine se os vetores \boldsymbol{v}=(2,1,-3,4) e \boldsymbol{w}=(0,-2,1,3) pertencem a W.
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W ou pode ser parte de uma base de W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, em graus com precisão de uma casa decimal.
Informações dadas explicitamente:
Os vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} estão explícitos: \boldsymbol{v}=(2,1,-3,4), \boldsymbol{w}=(0,-2,1,3).
Existe um subespaço W não trivial mencionado, mas a sua definição (geradores, equações, descrição) NÃO foi enviada junto com a questão que você me deu.
Observação importante: para responder às partes (b), (c) e (d) eu preciso saber como W é definido (por exemplo: W=\operatorname{span}\{u_1,u_2,\dots\} ou W é o espaço solução de certas equações lineares). Como essa informação não foi enviada, não posso calcular explicitamente uma base nem testar pertencimento a W. Vou então:
Responder (a) plenamente (definições e exemplos).
Explicar passo a passo e didaticamente COMO resolver (b), (c) e (d) quando você tiver a descrição de W — com um exemplo ilustrativo completo para que você possa aplicar na prova.
Resolver (e) numericamente aqui, porque o ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} depende só desses vetores, não de W.
Passo 2
Resposta didática e detalhada para (a): definição de base e dimensão, com explicação do que cada termo significa.
Definição de base: Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto finito (ou infinito, em alguns contextos) de vetores B=\{b_1,b_2,\dots,b_k\} tais que:
Os vetores são linearmente independentes; isto é, a única solução do sistema
c_1 b_1 + c_2 b_2 + \cdots + c_k b_k = \mathbf{0}
é c_1=c_2=\cdots=c_k=0.
2. Os vetores geram V; isto é, qualquer vetor v\in V pode ser escrito como combinação linear dos b_i:
v = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_k b_k
para alguns escalares a_1,\dots,a_k.
Comentário simples: “gera” = cobre todo o espaço com combinações lineares; “independente” = nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Definição de dimensão: A dimensão de um espaço vetorial V (quando V é de dimensão finita) é o número de vetores em qualquer base de V. Ou seja, se B é base e tem k vetores, \dim(V)=k. Teorema importante: todas as bases de um espaço vetorial finito têm o mesmo número de elementos, então a dimensão é bem definida.
Exemplos pequenos e concretos:
No espaço \mathbb{R}^2, a base usual é \{(1,0),(0,1)\}. São dois vetores independentes que geram \mathbb{R}^2. Assim \dim(\mathbb{R}^2)=2.
No espaço \mathbb{R}^3, a base usual é \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e \dim(\mathbb{R}^3)=3.
Passo 3
Como determinar (procedimento passo-a-passo) uma base e a dimensão de um subespaço W em dois casos comuns — e por que funciona (aulas práticas).
Caso 1 — W é dado como o span (gerado por vetores): W=\operatorname{span}\{u_1,u_2,\dots,u_m\}.
Método prático:
Coloque os vetores u_1,\dots,u_m como colunas de uma matriz A.
Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para obter a forma escalonada por linhas.
As colunas de A que correspondem às colunas-pivô da forma escalonada são uma base de W. O número de colunas-pivô é \dim(W).
Por que funciona: colunas-pivô correspondem a um subconjunto maximalmente independente de colunas; esse subconjunto gera o mesmo subespaço que as colunas originais.
Caso 2 — W é dado como solução de um sistema homogêneo A x = \mathbf{0} (ou por equações lineares).
Método prático:
Escreva as equações em forma matricial A x = \mathbf{0}.
Reduza A por linhas e identifique variáveis livres e dependentes.
Escreva a solução geral em função das variáveis livres; cada parâmetro livre introduz um vetor gerador. Esses vetores formam uma base canônica da solução. O número de parâmetros livres é \dim(W).
Por que funciona: a solução do sistema homogêneo é um subespaço linear, e expressá-la em termos de parâmetros dá diretamente uma base.
Exemplo ilustrativo completo (para ver o método funcionando):
Seja um subespaço imaginário W_{\text{ex}}=\operatorname{span}\{u_1,u_2,u_3\}\subset\mathbb{R}^4 com
e \dim(W_{\text{ex}})=2.
Comentário: u_2 é dependente porque u_2=2u_1.
Observação: o procedimento acima é exatamente o que você deve usar na prova: montar matriz, reduzir, identificar pivôs, pegar colunas correspondentes.]
Passo 4
Como testar se um vetor dado pertence a W (procedimento passo-a-passo, didático).
Situação típica 1 — W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}: testar se um vetor v pertence a W.
Método:
Procure escalares c_1,\dots,c_m tais que
c_1 u_1 + c_2 u_2 + \cdots + c_m u_m = v.
Isso é um sistema linear para as incógnitas c_i. Monte a matriz aumentada com as colunas u_i e o vetor v à direita e reduza.
Se o sistema for compatível (tem solução), então v\in W. Se for incompatível, v\notin W.
Exemplo rápido com o W_{\text{ex}} do passo anterior e um vetor teste t=(1,1,1,1):
Montamos [u_1\\ u_2\\ u_3\\ |\\ t] e reduzimos. Se houver solução, então t\in W_{\text{ex}}.
Situação típica 2 — W dado por equações lineares: então basta verificar que v satisfaz as equações que definem W.
Dica prática para a prova: sempre reduza a matriz apenas o suficiente para decidir compatibilidade; não é necessário resolver completamente quando só precisa saber se existe solução.
Passo 5
Como decidir se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é base de W ou pode ser parte de uma base — critérios e passos claros.
Critérios:
Para que \beta seja base de W é necessário e suficiente que:
\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in W (membros de W); e
\boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} sejam linearmente independentes; e
\beta gere W (isto é, \operatorname{span}\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\}=W). Na prática, se você já sabe que \dim(W)=2, então basta verificar que \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in W e que são independentes — então automaticamente são uma base.
Para que \beta possa ser parte de uma base de W (ou seja, possa ser completada a uma base), é necessário que:
\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in W, e
\boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} sejam linearmente independentes.
Se \dim(W)>2, um par independente de vetores em W pode ser completado (por teorema) a uma base de W.
Como testar independência passo a passo:
Monte a combinação a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w}=\mathbf{0} e resolva para a,b. Se única solução for a=b=0, então são independentes.
Alternativamente, forme a matriz com colunas \boldsymbol{v},\boldsymbol{w} e verifique o posto: se o posto é 2 em \mathbb{R}^n, são independentes.
Observação prática: nas partes (b)–(d) do enunciado que você me enviou, sem a descrição de W eu não posso verificar a condição “\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in W” nem posso comparar \dim(W). Se você me disser como W é definido, eu faço isso passo a passo para esses vetores.
Passo 6
Cálculo do ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} (parte e) — aqui a informação necessária está completa, então faço as contas detalhadas e explico.
Fórmula: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} é dado por
onde \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w} é o produto escalar e \|\boldsymbol{v}\| é a norma euclidiana (\|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}}).
Cálculos passo a passo para \boldsymbol{v}=(2,1,-3,4) e \boldsymbol{w}=(0,-2,1,3):
Agora o ângulo em graus: calcule \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{\sqrt{420}}\bigr). Em valor numérico:
\sqrt{420}\approx 20{,}49390153.
\cos\theta\approx 0{,}341803.
\theta\approx \operatorname{arccos}(0{,}341803)\approx 70{,}0^\circ (arredondando para uma casa decimal).
Observação: \theta é aproximadamente 70{,}0^\circ. Esse valor já tem a precisão pedida (uma casa decimal).
Passo 7
Resumo do que faltaria para completar (b), (c) e (d) com respostas numéricas e o que você deve me fornecer para eu fazer passo a passo na prova:
Preciso da descrição explícita de W. Exemplos de descrições possíveis:
W=\operatorname{span}\{u_1,u_2,\dots\} — nesse caso eu monto a matriz com colunas u_i e procedo como no passo 3 para achar uma base e a dimensão; depois resolvo sistemas aumentados para testar \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}.
Ou W=\{x\in\mathbb{R}^n \mid A x = 0\} — nesse caso faço a redução da matriz A, encontro a base da solução (veja passo 3) e procedo aos testes.
Se você colar aqui a definição de W (os vetores que geram W ou as equações que o definem), eu executo imediatamente as etapas necessárias, mostrando cada linha de cálculo, e respondo (b), (c) e (d) explicitamente.
Força aí — você já tem a parte (e) pronta, e quando me enviar a definição de W eu resolvo o resto com calma e passo a passo como você pediu.
Resposta
a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera V. A dimensão de V, \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V.
b) Não é possível determinar uma base \alpha nem a dimensão de W porque a definição explícita de W (geradores ou equações) não foi fornecida.
c) Não é possível decidir se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W sem a descrição de W.
d) Não é possível decidir se \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base de W sem a descrição de W; em geral, para ser base é necessário que \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in W, que sejam linearmente independentes e que gerem W (ou, se \dim(W)=2, bastam pertencimento e independência).
e) \theta\approx 70{,}0^\circ (ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}).