Questão 6.7
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(-1,2,3,0), w=(1,-3,2,4) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas sobre um subespaço vetorial W e dois vetores v e w. Vou listar claramente o que cada item solicita e as informações que foram fornecidas aqui:
(a) Definir o que é uma base e o que é a dimensão de um espaço vetorial.
(b) Determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
(c) Determinar se os vetores \boldsymbol{v}=(-1,2,3,0) e \boldsymbol{w}=(1,-3,2,4) pertencem a W.
(d) Determinar se \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W ou pode ser parte de uma base de W, com justificativa.
(e) Calcular o ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, em graus com precisão de uma casa decimal.
Informação importante: o enunciado refere-se a um subespaço W “da questão anterior”, mas essa definição de W (por exemplo, geradores de W ou equações que definem W) não foi enviada aqui. Como essa informação é necessária para responder exactamente (b), (c) e (d), eu não posso deduzir \alpha, nem dizer se \boldsymbol{v} ou \boldsymbol{w} pertencem a W, nem afirmar se \beta é base de W, sem que W seja explicitado.
A seguir eu:
(i) respondo (a) com definição completa e didática;
(ii) mostro os métodos passo a passo e exemplos de como resolver (b), (c) e (d) caso W fosse fornecido — assim você aprende a fazer na prova;
(iii) calculo (e) explicitamente usando os vetores fornecidos (esse item depende só de v e w, então posso resolver).
Passo 2
(a) Definição didática de base e dimensão (do jeito que aparece na prova, mastigado).
Definição de gerador (span): dado um conjunto de vetores S=\{u_1,\dots,u_m\} em um espaço vetorial V, o conjunto dos combinais lineares desses vetores é o subespaço gerado por S, chamado \operatorname{span}(S). Formalmente,
Significado prático: \operatorname{span}(S) é todo o conjunto de vetores que você consegue formar somando e escalando os vetores de S.
Definição de independência linear: os vetores u_1,\dots,u_m são linearmente independentes se a única solução para
c_1u_1+\cdots+c_mu_m=0
é c_1=\cdots=c_m=0. Caso exista uma combinação não-trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dá o vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.
Definição de base: um conjunto B=\{b_1,\dots,b_k\}\subset V é uma base de um subespaço W se:
Os vetores de B são linearmente independentes.
\operatorname{span}(B)=W (ou seja, B gera W).
Essas duas condições juntas significam que os vetores de B formam um sistema mínimo que gera W. Não dá para tirar nenhum vetor de B sem perder a capacidade de gerar W.
Definição de dimensão: a dimensão de W, denotada \dim(W), é o número de vetores de qualquer base de W. Teorema fundamental: todas as bases de um mesmo espaço vetorial W têm a mesma quantidade de vetores, por isso \dim(W) está bem definida.
Exemplo curto (para fixar): no plano \mathbb{R}^2, os vetores (1,0) e (0,1) são uma base e \dim(\mathbb{R}^2)=2. No subespaço de \mathbb{R}^3 definido pela equação x+y+z=0 (um plano passando pela origem), podemos parametrizar e obter uma base com dois vetores, logo a dimensão é 2.
Passo 3
(b) Como determinar uma base \alpha e a dimensão de W — método passo a passo (procedimento que você deve usar na prova), com explicações e exemplos de aplicação (sem inventar W).
Existem duas formas comuns de descrever W em enunciados e, para cada uma, o método:
Se W é dado por um conjunto de geradores (por exemplo, W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}):
Método:
Coloque os vetores u_1,\dots,u_m como colunas de uma matriz A.
Faça eliminação gaussiana (redução por linhas) em A.
As colunas correspondentes aos pivôs independentes formam uma base para \operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}.
A dimensão \dim(W) é o número de colunas-pivô (ou o posto da matriz).
Por que funciona (intuitivamente): a eliminação identifica combinações lineares redundantes e deixa um conjunto independente mínimo que ainda gera o espaço.
Exemplo rápido (didático): suponha u_1=(1,1,0), u_2=(2,2,0), u_3=(0,0,1) em \mathbb{R}^3. Colocando como colunas:
Reduzindo, vemos que a segunda coluna é múltipla da primeira, então pivôs em colunas 1 e 3; base \{(1,1,0),(0,0,1)\} e \dim(W)=2.
Se W é dado por equações lineares (por exemplo, W=\{x\in\mathbb{R}^n \mid Bx=0\}, um núcleo):
Método:
Escreva o sistema linear B x=0.
Faça eliminação gaussiana para achar as variáveis livres e expressar as variáveis básicas em termos das livres.
Escreva uma parametrização x = t_1 v_1 + \cdots + t_k v_k, onde v_1,\dots,v_k são vetores obtidos ao atribuir 1 a uma variável livre por vez e 0 às outras.
Então \{v_1,\dots,v_k\} é uma base do núcleo e \dim(W)=k.
Exemplo curto (didático): se x+y+z=0, então z e y podem ser parâmetros, escrevemos x=-y-z, obtendo x=(-y-z,y,z)=y(-1,1,0)+z(-1,0,1). Assim uma base é \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} e dimensão 2.
Observação final para (b): como a definição concreta de W não foi fornecida aqui, eu não posso aplicar esses passos para produzir \alpha e \dim(W) especificamente. Mas agora você já sabe exatamente o que fazer na prova: identifique se W vem com geradores ou com equações e aplique o procedimento correspondente.
Passo 4
(c) Como verificar se um vetor x pertence a W — método prático e didático.
Dois casos de procedimento, dependendo de como W aparece no enunciado:
Se W é dado por geradores, W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}:
Para testar se x\in W, tente resolver os escalares a_1,\dots,a_m em
a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m = x.
Em termos práticos: montar a matriz com colunas u_i e resolver A a = x. Se o sistema tem solução, então x\in W; caso contrário, não.
Ferramenta: eliminação gaussiana / redução.
Se W é dado por equações (núcleo), W=\{y \mid By=0\}:
Basta verificar se B x = 0. Se sim, x\in W; se B x\neq 0, então x\notin W.
Exemplo prático: se W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\} e x=(1,-1,0), então 1+(-1)+0=0 então x\in W.
Aplicação ao seu enunciado: como não foi especificado W, não posso decidir se \boldsymbol{v}=(-1,2,3,0) ou \boldsymbol{w}=(1,-3,2,4) pertencem a W. Porém, na prova você deve aplicar um dos dois procedimentos acima dependendo da definição de W.
Passo 5
(d) Quando \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é base de W ou pode ser parte de uma base — critérios e como provar na prova.
Critérios para \beta ser base de W:
Precisa satisfazer duas condições:
\beta é linearmente independente.
\operatorname{span}(\beta)=W.
Como verificar cada uma na prova:
Verificar independência: resolva a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w}=0. Se a única solução for a=b=0, então são independentes. Na prática, monte a matriz com colunas v,w e veja se as colunas são múltiplas ou se há pivôs em ambas as colunas (posto 2).
Verificar que geram W: mostrar que cada gerador de W pode ser escrito como combinação linear de \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, ou verificar que \dim(W)=2 e que \beta é independente (se \dim(W)=2 e \beta tem 2 vetores independentes, então automaticamente \beta é base).
Se \beta não gera W mas for independente, então \beta pode ser estendida a uma base de W: pegue vetores adicionais em W que não estejam no span de \beta e adicione-os até obter um conjunto que gere W. O procedimento prático: junte \beta com um conjunto gerador conhecido de W e faça redução para extrair uma base.
Aplicação ao enunciado: sem a definição de W não posso afirmar se \beta é base de W nem se pode ser parte de uma base de W. Posso, contudo, verificar independente/dependente apenas com \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} (isto depende só deles), e essa informação é útil para decidir se \beta poderia ser parte de uma base (por exemplo, se \beta for dependente, ela não pode ser parte de nenhuma base; se for independente, pode ser parte de alguma base de qualquer espaço que contenha \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}).
Vou verificar aqui a independência de \beta (isso não exige W): resolver a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w}=0. Colocando as componentes:
Da última equação 4b=0 segue b=0. Com b=0, da primeira equação -a=0 segue a=0. Logo a=b=0 é a única solução; portanto \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é linearmente independente. Conclusão: \beta é um conjunto independente de dois vetores e, se \dim(W)=2 e W contiver \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, então \beta seria base de W. Se \dim(W)>2, então \beta não gera W mas pode ser estendida a uma base de W.
Passo 6
(e) Cálculo do ângulo entre \boldsymbol{v}=(-1,2,3,0) e \boldsymbol{w}=(1,-3,2,4) — passo a passo, com explicações sobre a fórmula.
Fórmula: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} em \mathbb{R}^n é dado por
onde \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w} é o produto escalar e \|\boldsymbol{v}\| é a norma (razão prática: \|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}}).
Agora \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta). Convertendo para graus e arredondando para uma casa decimal:
\theta \approx 92{,}8^\circ.
Resposta
(a) Uma base de um subespaço W é um conjunto B=\{b_1,\dots,b_k\} de vetores de W que é linearmente independente e satisfaz \operatorname{span}(B)=W. A dimensão \dim(W) é o número de vetores em qualquer base de W.
(b) Não é possível determinar \alpha nem \dim(W): a definição explícita de W não foi fornecida no enunciado enviado.
(c) Não é possível determinar se \boldsymbol{v}=(-1,2,3,0) e \boldsymbol{w}=(1,-3,2,4) pertencem a W: falta a definição de W.
(d) \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é linearmente independente (verificação mostrou que a única solução de a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w}=0 é a=b=0). Consequências: se \dim(W)=2 e W contiver \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, então \beta seria uma base de W; se \dim(W)>2, então \beta não gera W mas pode ser estendida a uma base de W. Como W não foi especificado, não posso afirmar qual caso vale.
(e) \theta\approx 92{,}8^\circ.