Questão 6.8
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(2,2,1,-1), w=(3,-1,0,2) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas, e as informações dadas são parcialmente incompletas. Vou listar explicitamente cada pedido e o que o enunciado fornece:
  1. (a) Definir “base” e “dimensão” de espaço vetorial — isto é um pedido teórico independente de dados adicionais.
  2. (b) Determinar uma base \alpha e a dimensão de um subespaço vetorial W — o enunciado diz apenas que W é “um subespaço vetorial não trivial da questão anterior”, mas a definição explícita de W (por exemplo: geradores, equações ou uma descrição) não foi enviada aqui.
  3. (c) Verificar se os vetores \(v=(2,2,1,-1)) e \(w=(3,-1,0,2)) pertencem a W.
  4. (d) Verificar se \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W ou pode fazer parte de uma base de W.
  5. (e) Calcular o ângulo entre \(v) e \(w), em graus com uma casa decimal.
Observação importante: para resolver (b), (c) e (d) é necessário conhecer a definição de W (por exemplo, saber se W é dado como o espaço gerado por alguns vetores ou como solução de um sistema linear). Essa informação não foi enviada. Portanto, não posso determinar explicitamente \alpha, a dimensão de W nem a pertença de \(v) e \(w) a W sem essa definição. Entretanto, posso (i) responder (a) com detalhamento didático, (ii) explicar passo a passo os métodos que se usam em (b)-(d) para que você aplique imediatamente se souber a definição de W, e (iii) resolver (d) parcialmente verificando a independência linear de \{v,w\} em \mathbb{R}^4 (independente de W), e (iv) resolver (e) completamente, pois depende só de v e w.
Vou então desenvolver: definição e conceitos (a) com exemplos e técnicas; depois explico como proceder em (b)-(d) (algoritmo passo a passo); aplico as verificações possíveis aos v,w e calculo o ângulo (e).

Passo 2

(a) Definições fundamentais — base e dimensão, explicadas devagar e com exemplos.
Definição de “span” (espaço gerado): dado um conjunto de vetores S=\{u_1,\dots,u_k\} em um espaço vetorial V, o span de S é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores:
\operatorname{span}(S)=\left\{a_1u_1+\cdots+a_ku_k \mid a_1,\dots,a_k\in\mathbb{R}\right\}.
Isso é o menor subespaço de V que contém todos os vetores de S.
Definição de “linearmente independente”: um conjunto S=\{u_1,\dots,u_k\} é linearmente independente se a única solução do sistema
a_1u_1+\cdots+a_ku_k=0
é a_1=\cdots=a_k=0. Se existe uma combinação não-trivial que dá zero (alguma constante diferente de zero), então o conjunto é linearmente dependente.
Definição de “base”: um conjunto \mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}\subset V é uma base de V se
  1. \mathcal{B} gera V: \operatorname{span}(\mathcal{B})=V, e
  2. \mathcal{B} é linearmente independente.
Intuição: uma base é um “conjunto mínimo” de vetores que permite escrever qualquer vetor de V como combinação única desses vetores.
Definição de “dimensão”: se V admite uma base finita, a dimensão de V, denotada \dim V, é o número de vetores em qualquer base de V. Um teorema fundamental garante que qualquer duas bases finitas de V têm o mesmo número de elementos, então a dimensão está bem definida.
Exemplos simples:
  • Em \mathbb{R}^3, a base canônica é \{e_1,e_2,e_3\} com e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Aqui \dim\mathbb{R}^3=3.
  • O plano P em \mathbb{R}^3 definido por x+y+z=0 tem dimensão 2; uma possível base é \{(1,-1,0),(1,0,-1)\}.
Como verificar na prática se um conjunto é base:
  • Para testar geração: tentar escrever um vetor genérico de V como combinação linear dos candidatos; isso leva a um sistema linear; se qualquer vetor puder ser escrito, geram.
  • Para testar independência: montar a combinação linear igual a zero e resolver; se só a solução trivial existe, são independentes.
Pequena demonstração de uso (exemplo didático): decidir se \{(1,0,1),(0,1,1)\} é base do subespaço W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y-z=0\}.
  • Verificar que ambos pertencem a W: substitua e veja que 1+0-1=0 e 0+1-1=0.
  • Verificar geração: um vetor genérico (x,y,z)\in W satisfaz z=x+y. Qualquer tal vetor pode ser escrito
(x,y,z)=x(1,0,1)+y(0,1,1).
Logo geram W.
  • Verificar independência: se a(1,0,1)+b(0,1,1)=(0,0,0) então a=0, b=0. Logo são independentes e formam base; \dim W=2.

Passo 3

(b) Como determinar uma base \alpha e a dimensão de W — algoritmo passo a passo (sem conhecer W específico).
Existem duas formas usuais de apresentar W. Para cada caso explico o procedimento.
Caso 1 — W é dado como espaço gerado por vetores: W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}.
Procedimento:
  1. Coloque os vetores u_1,\dots,u_m como colunas em uma matriz A.
  2. Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) em A para obter a forma por linhas escalonada.
  3. As colunas correspondentes aos pivôs (colunas linearly independent) formam um conjunto de vetores que é base de W.
  4. A dimensão \dim W é o número de pivôs (posto da matriz), isto é, o número de vetores linearmente independentes no gerador.
Observação: este procedimento arranca vetores redundantes (linearmente dependentes) deixando uma base mínima.
Exemplo rápido (ilustrativo, não relacionado a W do enunciado): se W=\operatorname{span}\{(1,1,0),(2,2,0),(0,0,1)\}, ao montar a matriz e reduzir notamos que (2,2,0) é múltiplo de (1,1,0), logo uma base é \{(1,1,0),(0,0,1)\} e \dim W=2.
Caso 2 — W é dado como solução homogênea de um sistema linear, por exemplo W=\{x\in\mathbb{R}^n \mid Bx=0\} para alguma matriz B.
Procedimento:
  1. Resolva Bx=0 por eliminação de Gauss, encontrando as variáveis pivôs e livres.
  2. Escreva a solução em forma paramétrica em termos das variáveis livres; cada variável livre gera um vetor parâmetro.
  3. Os vetores que multiplicam os parâmetros formam uma base de W.
  4. A dimensão é o número de parâmetros livres (igual a n-\operatorname{rank}(B)).
Resumo prático: sem a descrição explícita de W não posso apresentar a base \alpha concreta nem o número \dim W. Se você me disser se W é, por exemplo, o span de alguns vetores ou a solução de algumas equações, eu aplico esse algoritmo e entrego a base e a dimensão.

Passo 4

(c) Como verificar se v=(2,2,1,-1) e w=(3,-1,0,2) pertencem a W — métodos passo a passo.
Método 1 — se W tem base conhecida \{b_1,\dots,b_r\}:
  1. Escreva x\in W como x=c_1b_1+\cdots+c_rb_r.
  2. Para verificar se um vetor dado u pertence a W, tente resolver o sistema linear em incógnitas c_i:
c_1b_1+\cdots+c_rb_r=u.
  1. Se existe solução, então u\in W; se não existe, então u\notin W.
Método 2 — se W é dado por equações B x=0:
  1. Substitua u em B u. Se B u=0, então u\in W; caso contrário u\notin W.
Método 3 — se W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}:
  1. Verifique se o sistema a_1u_1+\cdots+a_mu_m = u tem solução (novamente eliminação de Gauss com a matriz cujas colunas são u_1,\dots,u_m,u); se tem, u\in W.
Aplicação ao enunciado: não posso afirmar se v e w pertencem a W porque a definição de W não foi enviada. Diga-me a descrição de W (geradores ou equações) e eu faço essa verificação passo a passo.

Passo 5

(d) Verificar se [\beta={\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}}) é uma base ou pode ser parte de uma base de W.
Condições necessárias para \beta ser base de W:
  1. Ambos v e w devem pertencer a W.
  2. \{v,w\} deve gerar W (isto é, \operatorname{span}\{v,w\}=W).
  3. \{v,w\} deve ser linearmente independente.
Condições para \beta ser “parte de uma base” (ou seja, pode ser estendida a uma base de W):
  1. Os vetores devem pertencer a W.
  2. Devem ser linearmente independentes — então, se \dim W > 2, pode-se completar com vetores adicionais de W para formar uma base; se \dim W=2, e são independentes, então já são uma base.
Posso, independentemente de W, verificar a independência linear de \{v,w\} em \mathbb{R}^4. Faço isso agora:
Verificação de independência de v e w:
Procuramos escalares a,b tais que
a v + b w = 0.
Isto equivale ao sistema componente a componente:
\begin{cases} 2a + 3b = 0,\\\\ 2a - b = 0,\\\\ 1a + 0b = 0,\\\\ -1a + 2b = 0. \end{cases}
Da terceira equação obtemos a=0\]. Substituindo \(a=0 nas outras, a primeira dá 3b=0\Rightarrow b=0. Logo a única solução é a=b=0. Portanto \{v,w\} é linearmente independente.
Conclusões parciais (sem saber W):
  • Como mostrado, \{v,w\} é linearmente independente em \mathbb{R}^4.
  • Para que \beta seja base de W é preciso também que v,w\in W e que \operatorname{span}\{v,w\}=W. Não posso verificar isso sem a definição de W.
  • Para que \beta possa ser parte de uma base de W basta que v,w\in W e que sejam independentes; como já são independentes, bastaria saber se ambos pertencem a W. Se pertencerem e \dim W\ge2, então podem ser estendidos para uma base de W; se \dim W=2 e pertencerem, então já são base.

Passo 6

(e) Cálculo do ângulo entre v e w — passo a passo e com resultado numérico.
Fórmula do ângulo: o ângulo \theta entre dois vetores v e w em \mathbb{R}^n é dado por
\cos\theta=\frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|},
onde v\cdot w é o produto interno usual (produto escalar) e \|v\|=\sqrt{v\cdot v} é a norma.
  1. Calcule o produto escalar v\cdot w:
v\cdot w = 2\cdot 3 + 2\cdot(-1) + 1\cdot 0 + (-1)\cdot 2 = 6 -2 + 0 -2 = 2.
  1. Calcule as normas \|v\| e \|w\|:
\|v\|=\sqrt{2^2+2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1+1}=\sqrt{10}.
\|w\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+0^2+2^2}=\sqrt{9+1+0+4}=\sqrt{14}.
  1. Compute \cos\theta:
\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{10}\,\sqrt{14}}=\frac{2}{\sqrt{140}}.
Simplificando \sqrt{140}=\sqrt{4\cdot 35}=2\sqrt{35}, obtemos
\cos\theta=\frac{2}{2\sqrt{35}}=\frac{1}{\sqrt{35}}.
  1. Então
\theta=\operatorname{arccos}\left(\frac{1}{\sqrt{35}}\right).
Valor numérico: \sqrt{35}\approx 5{,}91608, logo \cos\theta\approx 0{,}16903085. Convertendo para graus:
\theta \approx 80{,}3^\circ
(com precisão de uma casa decimal).
Interpretação rápida: os vetores v e w são quase ortogonais — o ângulo está perto de 90^\circ, mas um pouco menor.

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto \mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\} que gera V ( \operatorname{span}(\mathcal{B})=V) e é linearmente independente (a única combinação linear que dá zero é trivial). A dimensão \dim V é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar uma base \alpha nem \dim W porque a definição explícita de W (geradores ou equações) não foi fornecida. Se você fornecer W, aplico eliminação de Gauss e extraio a base e a dimensão.
(c) Não é possível afirmar se v=(2,2,1,-1) e w=(3,-1,0,2) pertencem a W sem a definição de W. Para verificar pertença, usaríamos: (i) se W tem base conhecida, tentar escrever v e w como combinações da base; ou (ii) se W é solução de Bx=0, calcular Bv e Bw.
(d) A verificação completa depende de W. Contudo, independentemente de W, \{v,w\} é linearmente independente (verificação: única solução de a v+b w=0 é a=b=0). Logo, se ambos pertencerem a W então podem ser parte de uma base de W (e se \dim W=2 seriam então uma base). Para afirmar se já são base é necessário saber se geram todo W, o que não posso verificar sem W.
(e) O ângulo entre v e w é \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{35}}\right)\approx 80{,}3^\circ.

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