a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W= \left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y+z=0 e t-y=0\right\} d e \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas. Vou listar com calma o que é pedido e quais informações temos:
Definir o que é um conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e o que é um conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
determinar uma base \alpha de W e a dimensão de W.
3. Usar o método de Gram–Schmidt para achar uma base ortogonal \beta de W.
4. Determinar a matriz de mudança de base "da base \alpha para a base \beta".
Informações relevantes do enunciado: as duas equações lineares que definem W e o universo \mathbb{R}^{4}. Não há figura nem tabela. Não há ambiguidade sobre os vetores: tudo no caso é com o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4.
Passo 2
Primeiro vamos entender bem o subespaço W escrevendo as equações que o definem e parametrizando os vetores de W.
As equações são
x+y+z=0
e
t-y=0.
Da segunda equação temos imediatamente \;t=y. Substituindo na primeira, temos \;x+y+z=0, que nos dá x=-y-z.
Logo todo vetor v\in W tem a forma
v=(x,y,z,t)=(-y-z,\;y,\;z,\;y).
Agora escrevemos v como combinação linear dos parâmetros y e z. Colocando y e z como coeficientes:
v = y\cdot(-1,1,0,1) \;+\; z\cdot(-1,0,1,0).
Portanto qualquer vetor de W é combinação linear dos dois vetores
u_1 = (-1,1,0,1),\qquad u_2 = (-1,0,1,0).
Passo 3
Agora usamos o que aprendemos no passo anterior para propor uma base e determinar a dimensão.
Explicando: uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) geram o subespaço (isto é, todo vetor do subespaço é combinação linear deles) e (ii) são linearmente independentes. Já encontramos dois vetores que geram W. Se eles forem linearmente independentes, então formam uma base e a dimensão será 2.
Verificamos a independência de \{u_1,u_2\}. Suponha que existam a,b\in\mathbb{R} tais que
Das segunda e quarta coordenadas obtemos a=0. Da terceira coordenada obtemos b=0. Assim a única solução é a=b=0, o que mostra que u_1 e u_2 são linearmente independentes.
Concluímos que \{u_1,u_2\} gera W e é linearmente independente, logo é uma base. Portanto a dimensão de W é 2.
Assim uma escolha natural de base \alpha é
\alpha=\{u_1,u_2\}=\{(-1,1,0,1),\;(-1,0,1,0)\},
e
\dim(W)=2.
Passo 4
Agora vamos ao método de Gram–Schmidt. Vou primeiro explicar a ideia e a fórmula de forma didática.
Objetivo do Gram–Schmidt: a partir de uma base qualquer \{v_1,\dots,v_k\} de um subespaço com produto escalar (aqui o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4), produzir uma base ortogonal \{w_1,\dots,w_k\} do mesmo subespaço. Ortonormalizar seria depois normalizar cada vetor, mas a questão pede apenas ortogonal.
Fórmula passo a passo (para dois vetores, que é nosso caso):
Podemos simplificar a segunda coordenada ortogonal multiplicando w_2 por uma constante não nula (isto não quebra a ortogonalidade, só escala o vetor). Multiplico w_2 por 3 para obter entradas inteiras mais agradáveis:
Observação didática: não é necessário normalizar os vetores para ter uma base ortogonal; apenas garantir que são mutuamente ortogonais e geram o subespaço. A normalização (dividir cada vetor pela sua norma) daria uma base ortonormal, mas a questão pediu apenas ortogonal.
Passo 7
Agora determinamos a matriz de mudança de base "da base \alpha para a base \beta". Vou esclarecer o significado que vou usar (importante): vou tomar a matriz P tal que, para qualquer vetor v\in W,
\big[v\big]_{\beta} = P\,\big[v\big]_{\alpha},
ou seja, P transforma coordenadas de \alpha-representação para coordenadas de \beta-representação. Essa é a convenção padrão e é a que usarei.
Para formar P precisamos expressar cada vetor da base \alpha (colunas) em coordenadas relativas à base \beta.