Questão 3.4

a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=
\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y+z=0 e t-y=0\right\} d e \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas. Vou listar com calma o que é pedido e quais informações temos:
  1. Definir o que é um conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e o que é um conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
  2. Dado o subespaço W de \mathbb{R}^{4} definido por
W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+y+z=0\\ \text{e}\\ t-y=0\},
determinar uma base \alpha de W e a dimensão de W.
3. Usar o método de Gram–Schmidt para achar uma base ortogonal \beta de W.
4. Determinar a matriz de mudança de base "da base \alpha para a base \beta".
Informações relevantes do enunciado: as duas equações lineares que definem W e o universo \mathbb{R}^{4}. Não há figura nem tabela. Não há ambiguidade sobre os vetores: tudo no caso é com o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4.

Passo 2

Primeiro vamos entender bem o subespaço W escrevendo as equações que o definem e parametrizando os vetores de W.
As equações são
x+y+z=0
e
t-y=0.
Da segunda equação temos imediatamente \;t=y. Substituindo na primeira, temos \;x+y+z=0, que nos dá x=-y-z.
Logo todo vetor v\in W tem a forma
v=(x,y,z,t)=(-y-z,\;y,\;z,\;y).
Agora escrevemos v como combinação linear dos parâmetros y e z. Colocando y e z como coeficientes:
v = y\cdot(-1,1,0,1) \;+\; z\cdot(-1,0,1,0).
Portanto qualquer vetor de W é combinação linear dos dois vetores
u_1 = (-1,1,0,1),\qquad u_2 = (-1,0,1,0).

Passo 3

Agora usamos o que aprendemos no passo anterior para propor uma base e determinar a dimensão.
Explicando: uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) geram o subespaço (isto é, todo vetor do subespaço é combinação linear deles) e (ii) são linearmente independentes. Já encontramos dois vetores que geram W. Se eles forem linearmente independentes, então formam uma base e a dimensão será 2.
Verificamos a independência de \{u_1,u_2\}. Suponha que existam a,b\in\mathbb{R} tais que
a u_1 + b u_2 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
a(-1) + b(-1) = 0,\quad a(1) + b(0) = 0,\quad a(0) + b(1) = 0,\quad a(1) + b(0) = 0.
Das segunda e quarta coordenadas obtemos a=0. Da terceira coordenada obtemos b=0. Assim a única solução é a=b=0, o que mostra que u_1 e u_2 são linearmente independentes.
Concluímos que \{u_1,u_2\} gera W e é linearmente independente, logo é uma base. Portanto a dimensão de W é 2.
Assim uma escolha natural de base \alpha é
\alpha=\{u_1,u_2\}=\{(-1,1,0,1),\;(-1,0,1,0)\},
e
\dim(W)=2.

Passo 4

Agora vamos ao método de Gram–Schmidt. Vou primeiro explicar a ideia e a fórmula de forma didática.
Objetivo do Gram–Schmidt: a partir de uma base qualquer \{v_1,\dots,v_k\} de um subespaço com produto escalar (aqui o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4), produzir uma base ortogonal \{w_1,\dots,w_k\} do mesmo subespaço. Ortonormalizar seria depois normalizar cada vetor, mas a questão pede apenas ortogonal.
Fórmula passo a passo (para dois vetores, que é nosso caso):
  1. Defina w_1 = v_1.
  2. Calcule a projeção de v_2 sobre w_1 usando
\operatorname{proj}_{w_1}(v_2) = \frac{\langle v_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}\; w_1,
onde \langle a,b\rangle é o produto escalar padrão (soma dos produtos coordenada a coordenada).
3. Então tome
w_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{w_1}(v_2).
Por construção \langle w_2,w_1\rangle=0. Se w_2\neq 0, então \{w_1,w_2\} é uma base ortogonal do mesmo subespaço gerado por \{v_1,v_2\}.
Vou aplicar exatamente essa receita às nossas u_1,u_2.

Passo 5

Aplicando Gram–Schmidt a \,u_1=(-1,1,0,1) e u_2=(-1,0,1,0).
Primeiro definimos
w_1 = u_1 = (-1,1,0,1).
Calculemos os produtos escalares necessários. Lembrando que o produto escalar padrão em \mathbb{R}^4 é a soma dos produtos das coordenadas:
\langle u_2,w_1\rangle = (-1)(-1) + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 1.
\langle w_1,w_1\rangle = (-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 1+1+0+1 = 3.
Então a projeção de u_2 sobre w_1 é
\operatorname{proj}_{w_1}(u_2) = \frac{\langle u_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}\, w_1 = \frac{1}{3}\, w_1 = \frac{1}{3}(-1,1,0,1).
Agora subtraímos para obter w_2:
w_2 = u_2 - \operatorname{proj}_{w_1}(u_2) = (-1,0,1,0) - \frac{1}{3}(-1,1,0,1).
Fazendo coordenada a coordenada:
w_2 = \Big(-1 + \tfrac{1}{3},\; 0 - \tfrac{1}{3},\; 1 - 0,\; 0 - \tfrac{1}{3}\Big) = \Big(-\tfrac{2}{3},\; -\tfrac{1}{3},\; 1,\; -\tfrac{1}{3}\Big).
Conferimos ortogonalidade:
\langle w_1,w_2\rangle = (-1)\left(-\tfrac{2}{3}\right) + 1\left(-\tfrac{1}{3}\right) + 0\cdot 1 + 1\left(-\tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0,
como esperado.

Passo 6

Podemos simplificar a segunda coordenada ortogonal multiplicando w_2 por uma constante não nula (isto não quebra a ortogonalidade, só escala o vetor). Multiplico w_2 por 3 para obter entradas inteiras mais agradáveis:
b_2 = 3 w_2 = (-2,-1,3,-1).
Mantemos b_1 = w_1 = (-1,1,0,1).
Então a base ortogonal \beta escolhida é
\beta = \{b_1,b_2\} = \{(-1,1,0,1),\;(-2,-1,3,-1)\}.
Verificamos novamente a ortogonalidade:
\langle b_1,b_2\rangle = (-1)(-2) + 1(-1) + 0\cdot 3 + 1(-1) = 2 -1 + 0 -1 = 0.
Perfeito.
Observação didática: não é necessário normalizar os vetores para ter uma base ortogonal; apenas garantir que são mutuamente ortogonais e geram o subespaço. A normalização (dividir cada vetor pela sua norma) daria uma base ortonormal, mas a questão pediu apenas ortogonal.

Passo 7

Agora determinamos a matriz de mudança de base "da base \alpha para a base \beta". Vou esclarecer o significado que vou usar (importante): vou tomar a matriz P tal que, para qualquer vetor v\in W,
\big[v\big]_{\beta} = P\,\big[v\big]_{\alpha},
ou seja, P transforma coordenadas de \alpha-representação para coordenadas de \beta-representação. Essa é a convenção padrão e é a que usarei.
Para formar P precisamos expressar cada vetor da base \alpha (colunas) em coordenadas relativas à base \beta.
Lembrete das bases:
\alpha=\{u_1,u_2\}=\{b_1,\;u_2\},\qquad \beta=\{b_1,b_2\},
onde b_1=u_1 e b_2=3\big(u_2-\tfrac{1}{3}u_1\big) conforme calculado antes.
  • Primeiro, u_1 = b_1. Então a coordenada de u_1 na base \beta é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Segundo, precisamos escrever u_2 em termos de b_1 e b_2. Pela construção do Gram–Schmidt tínhamos
u_2 = \operatorname{proj}_{w_1}(u_2) + w_2 = \frac{1}{3}b_1 + w_2.
Como b_2 = 3 w_2, temos w_2 = \tfrac{1}{3}b_2. Assim
u_2 = \frac{1}{3}b_1 + \frac{1}{3}b_2.
Portanto as coordenadas de u_2 na base \beta são \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Logo a matriz P (colunas = coordenadas de u_1 e u_2 em \beta) é
P = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{3} \\\\ 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
Confirmação rápida: se um vetor v tem coordenadas \big[c_1,c_2\big]^T em \alpha, então v = c_1 u_1 + c_2 u_2. Em \beta isso é
v = c_1 b_1 + c_2\Big(\tfrac{1}{3}b_1 + \tfrac{1}{3}b_2\Big) = \Big(c_1 + \tfrac{c_2}{3}\Big)b_1 + \Big(\tfrac{c_2}{3}\Big)b_2,
logo
\big[v\big]_{\beta} = \begin{pmatrix}c_1 + \tfrac{c_2}{3} \\[4pt] \tfrac{c_2}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_1\\[4pt] c_2\end{pmatrix},
o que confirma P como a matriz de mudança de base de \alpha para \beta.]

Resposta

\alpha=\{(-1,1,0,1),\;(-1,0,1,0)\}
\dim(W)=2
\beta=\{(-1,1,0,1),\;(-2,-1,3,-1)\}
P_{\alpha\to\beta}=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}]

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