a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x+y-z+3 t=0\right\} d e \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W.
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
(a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
(b) Dado o subespaço W=\left\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 2x+y-z+3t=0\right\}, determinar uma base \alpha de W e a dimensão de W.
(c) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal \beta de W.
(d) Determinar a matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Informações fornecidas:
Espaço ambiente é \mathbb{R}^4 com produto interno padrão (produto escalar usual).
Subespaço W é o conjunto de vetores que satisfazem a equação linear \;2x+y-z+3t=0.
Nada mais será pedido; a partir daqui começamos a resolver passo a passo.
Passo 2
(a) Definições (explicadas devagar e com exemplo mental)
Definição de I.i. (linearmente independentes).
Dizemos que um conjunto de vetores \{u_1,u_2,\dots,u_k\}\subset\mathbb{R}^n é linearmente independente se a única solução do sistema\lambda_1 u_1+\lambda_2 u_2+\cdots+\lambda_k u_k=0é \lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k=0.
Explicação prática: nenhuma combinação linear não-trivial (com coeficientes não todos nulos) dá o vetor zero — todos os vetores trazem informação nova.
Definição de l.d. (linearmente dependentes).
Dizemos que \{u_1,\dots,u_k\} é linearmente dependente se existem coeficientes \lambda_i, nem todos nulos, tais que\lambda_1 u_1+\cdots+\lambda_k u_k=0.Explicação prática: algum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros — há redundância.
Exemplo rápido mental: em \mathbb{R}^2, dois vetores colineares (um é múltiplo do outro) são l.d.; dois vetores não-colineares formam um conjunto I.i.
Passo 3
(b) Parametrização de W (como encontrar uma base)
Começo resolvendo a equação que define W:
2x+y-z+3t=0.
Escolho como variáveis livres y,z,t (chamo-as de parâmetros s,u,v respectivamente). Então
Agora reescrevo como combinação linear das direções geradoras (separo pelos parâmetros). Coloco y=s,\;z=u,\;t=v:
v = s\left(\frac{-1}{2},1,0,0\right) + u\left(\frac{1}{2},0,1,0\right) + v\left(\frac{-3}{2},0,0,1\right).
Esses três vetores formam um conjunto gerador, mas têm frações. Para obter vetores inteiros (mais confortáveis), multiplico cada vetor por 2 e tomo como candidatos à base os seguintes vetores (cada um está em W porque satisfazem a equação original — podemos conferir substituindo na equação):
Portanto só há solução trivial: os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Provar que \{v_1,v_2,v_3\} gera W (mostrando que geram qualquer vetor de W)
Se w=(x,y,z,t)\in W, então 2x+y-z+3t=0. Tomo \alpha=\dfrac{y}{2}, \beta=\dfrac{z}{2}, \gamma=\dfrac{t}{2}. Calculo
Ressalto: multiplicar um vetor ortogonal por escalar não destrói a ortogonalidade, então usar b_2=5w_2 é permitido e deixa as coordenadas inteiras.
Passo 11
(d) Matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta — escolha de convenção e cálculo
Primeiro esclareço a convenção que vou usar (importante): vou calcular a matriz P tal que, para qualquer vetor v\in W,
\big[v\big]_{\beta} = P\,\big[v\big]_{\alpha},
ou seja, P transforma coordenadas de \alpha-coordenadas para \beta-coordenadas. Com essa convenção, as colunas de P são as coordenadas, em \beta, dos vetores de \alpha.
Estratégia prática: é mais fácil primeiro expressar cada vetor de \beta em coordenadas da base \alpha; isso dá uma matriz triangular Q tal que
\big[v\big]_{\alpha} = Q\,\big[v\big]_{\beta}.
Então P = Q^{-1}.
Expressões de \beta em termos de \alpha (todas as igualdades abaixo são combinações lineares entre os vetores v_1,v_2,v_3 da base \alpha):
b_1 = v_1 dá [b_1]_{\alpha}=(1,0,0)^\top.
Lembre que b_2=5w_2 e w_2 = v_2 + \tfrac{1}{5}v_1. Portantob_2 = 5w_2 = 5v_2 + v_1 \quad\Rightarrow\quad [b_2]_{\alpha}=(1,5,0)^\top.
Para b_3=w_3 encontramos (no Passo 9) a relaçãow_3 = -\tfrac{1}{2}v_1 + \tfrac{1}{2}v_2 + 1\cdot v_3,então[b_3]_{\alpha} = \left(-\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{2},\;1\right)^\top.
Logo a matriz Q (colunas são [b_1]_{\alpha},[b_2]_{\alpha},[b_3]_{\alpha}) é
Verificação rápida da interpretação: a segunda coluna de P é [v_2]_{\beta}=(-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5},0)^\top, que corresponde à identidade v_2 = -\tfrac{1}{5}b_1 + \tfrac{1}{5}b_2 (coerente com b_2 = v_1 + 5v_2 que usamos antes).]
Resposta
(a) Linearmente independentes: um conjunto \{u_1,\dots,u_k\} é I.i. se \lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ku_k=0 implica \lambda_1=\cdots=\lambda_k=0. Linearmente dependentes: existe combinação não trivial \lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ku_k=0 com pelo menos um \lambda_i\neq0.