Questão 3.5

a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=
\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 3 x-y-z=0 e x+t=0\right\} d e \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que você precisa responder:
  • Dado: o subespaço W de \mathbb{R}^{4} definido por
W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid 3x-y-z=0 \text{ e } x+t=0\}.
  • Perguntas:
    a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (i.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
    b) Determinar uma base \alpha de W e a dimensão de W.
    c) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal \beta de W.
    d) Determinar a matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Não vou resolver nada aqui; só deixei claro o que temos e o que é pedido. Vamos em frente!

Passo 2

(a) Definições — vou explicar devagar e com exemplo mental para fixar.
  • Definição de conjunto linearmente independente (i.i.): um conjunto de vetores \{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} em um espaço vetorial é dito linearmente independente se a única solução do sistema
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\dots+c_{k}v_{k}=0
é c_{1}=c_{2}=\dots=c_{k}=0. Ou seja, não existe combinação linear não trivial (coefficients não todos zero) que dê o vetor zero.
  • Definição de conjunto linearmente dependente (l.d.): o conjunto é linearmente dependente se existem escalares, não todos zero, tais que
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\dots+c_{k}v_{k}=0.
Isto significa que algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Explicação didática curta: pensar assim — independente significa que cada vetor traz “informação nova”; nenhum é redundante. Dependente significa que há redundância.

Passo 3

(b) Encontrar uma base \alpha e a dimensão de W.
Primeiro, resolvemos as equações que definem W. Escrevemos as condicionantes:
3x-y-z=0
x+t=0.
Da segunda equação vem
t=-x.
Da primeira temos
y=3x-z.
Escolhemos parâmetros livres para descrever todos os vetores de W. Tome x=s e z=r como parâmetros reais. Então
y=3s-r,\qquad t=-s.
Escrevendo o vetor v=(x,y,z,t) em termos de s e r:
v=(s,\;3s-r,\;r,\;-s)=s(1,3,0,-1)+r(0,-1,1,0).
Isso nos dá uma representação de W como combinação linear dos dois vetores
u_{1}=(1,3,0,-1),\qquad u_{2}=(0,-1,1,0).
Agora verificamos que esses dois vetores são linearmente independentes. Para isso, suponha
\alpha\,u_{1}+\beta\,u_{2}=0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
(\alpha,\;3\alpha-\beta,\;\beta,\;-\alpha)=(0,0,0,0).
Da terceira coordenada vem \beta=0. Da primeira vem \alpha=0. Logo \alpha=\beta=0. Portanto são linearmente independentes.
Como conseguimos gerar todo W com dois vetores independentes, esses dois formam uma base de W. Assim podemos escolher
\alpha=\{\, (1,3,0,-1),\; (0,-1,1,0)\,\}.
A dimensão de W é o número de vetores da base, ou seja, \dim W=2.

Passo 4

(c) Gram–Schmidt — explicação do método e aplicação passo a passo.
Explicando o método (passo-a-passo pedagógico): dado um conjunto linearmente independente \{u_{1},u_{2},\dots,u_{k}\}, o processo de Gram–Schmidt constrói um conjunto ortogonal \{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} que gera o mesmo subespaço. A fórmula chave é:
v_{1}=u_{1},
v_{2}=u_{2}-\operatorname{proj}_{v_{1}}(u_{2}),
onde a projeção de um vetor w sobre v (no produto interno padrão) é
\operatorname{proj}_{v}(w)=\frac{\langle w,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v,
e \langle a,b\rangle é o produto interno euclidiano a\cdot b (a soma dos produtos das coordenadas). Depois v_{2} é ortogonal a v_{1}. Para mais vetores, subtrai-se as projeções sobre todos os anteriores.
Aplicando ao nosso caso com u_{1}=(1,3,0,-1) e u_{2}=(0,-1,1,0).
  1. Tome
v_{1}=u_{1}=(1,3,0,-1).
Calcule \langle v_{1},v_{1}\rangle:
\langle v_{1},v_{1}\rangle=1^{2}+3^{2}+0^{2}+(-1)^{2}=1+9+0+1=11.
  1. Calcule \langle u_{2},v_{1}\rangle:
\langle u_{2},v_{1}\rangle=0\cdot1+(-1)\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)=-3.
  1. Projeção de u_{2} sobre v_{1}:
\operatorname{proj}_{v_{1}}(u_{2})=\frac{\langle u_{2},v_{1}\rangle}{\langle v_{1},v_{1}\rangle}v_{1}=\frac{-3}{11}v_{1}.
  1. Subtraindo, obtemos v_{2}:
v_{2}=u_{2}-\operatorname{proj}_{v_{1}}(u_{2})=u_{2}+\frac{3}{11}v_{1}.
Calculando coordenada a coordenada,
v_{2}= \left(0,\,-1,\,1,\,0\right)+\frac{3}{11}\left(1,3,0,-1\right) =\left(\frac{3}{11},\; -\frac{2}{11},\;1,\; -\frac{3}{11}\right).
  1. Observação prática: podemos multiplicar v_{2} por qualquer escalar não nulo sem perder a ortogonalidade. Para evitar frações e ficar com números inteiros, multiplicamos por 11. Definimos
w_{2}=11\,v_{2}=(3,\,-2,\,11,\,-3).
Isso facilita contas e w_{2} continua sendo ortogonal a v_{1} (porque multiplicar por escalar não altera ortogonalidade).
  1. Verificação rápida da ortogonalidade:
\langle v_{1},w_{2}\rangle=1\cdot3+3\cdot(-2)+0\cdot11+(-1)\cdot(-3)=3-6+0+3=0.
Portanto v_{1} e w_{2} são ortogonais.
  1. Como ambos v_{1} e w_{2} pertencem a W (são combinações lineares de u_{1},u_{2}), o conjunto
\beta=\{\, (1,3,0,-1),\; (3,-2,11,-3)\,\}
é uma base ortogonal de W.
Se você preferir base ortonormal, bastaria dividir cada vetor pelo seu comprimento, mas a questão pediu base ortogonal, então essa forma com inteiros está ótima para a prova.

Passo 5

(d) Matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Primeiro explico o que vou calcular e a convenção que vou usar (importante para não confundir): vou determinar a matriz P tal que, para qualquer vetor v\in W,
[v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha},
ou seja, P converte coordenadas de v na base \alpha para coordenadas na base \beta. Com essa convenção, as colunas de P são exatamente as coordenadas, em \beta, dos vetores da base \alpha.
Temos \alpha=\{u_{1},u_{2}\} com u_{1}=(1,3,0,-1), u_{2}=(0,-1,1,0), e \beta=\{v_{1},w_{2}\} com v_{1}=u_{1} e w_{2}=(3,-2,11,-3).
  • Coordenadas de u_{1} em \beta: como u_{1}=v_{1}, temos
[u_{1}]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Coordenadas de u_{2} em \beta: precisamos a,b tais que
u_{2}=a\,v_{1}+b\,w_{2}.
Mas da construção de Gram–Schmidt já sabemos uma relação útil (usada antes): vimos que
v_{2}=u_{2}+\frac{3}{11}v_{1},
e lembrando que w_{2}=11v_{2}, temos
w_{2}=11u_{2}+3v_{1}.
Rearranjando,
11u_{2}=w_{2}-3v_{1}\quad\Rightarrow\quad u_{2}=-\frac{3}{11}v_{1}+\frac{1}{11}w_{2}.
Logo as coordenadas de u_{2} em \beta são
[u_{2}]_{\beta}=\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{11}\\[6pt]\dfrac{1}{11}\end{pmatrix}.
Portanto a matriz P (com colunas os vetores acima) é
P=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{3}{11}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{11} \end{pmatrix}.
Checando significado: se [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}s\\\ r\end{pmatrix} (os parâmetros que usamos antes), então
[v]_{\beta}=P\begin{pmatrix}s\\\ r\end{pmatrix}.
Essa é a matriz de mudança de base de \alpha para \beta na convenção [v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha}.]

Resposta

(a) Definições: um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero tem todos os coeficientes iguais a zero; é linearmente dependente se existe combinação linear não trivial que dá zero.
(b) \alpha=\{(1,3,0,-1),\;(0,-1,1,0)\}, \dim W=2.
(c) \beta=\{(1,3,0,-1),\;(3,-2,11,-3)\} (base ortogonal de W).
(d) Matriz de mudança de base de \alpha para \beta (sendo [v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha}):
P=\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{3}{11}\\[6pt]0 & \dfrac{1}{11}\end{pmatrix}.]

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