a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W= \left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 3 x-y-z=0 e x+t=0\right\} d e \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que você precisa responder:
Dado: o subespaço W de \mathbb{R}^{4} definido por
W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid 3x-y-z=0 \text{ e } x+t=0\}.
Perguntas:
a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (i.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
b) Determinar uma base \alpha de W e a dimensão de W.
c) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal \beta de W.
d) Determinar a matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Não vou resolver nada aqui; só deixei claro o que temos e o que é pedido. Vamos em frente!
Passo 2
(a) Definições — vou explicar devagar e com exemplo mental para fixar.
Definição de conjunto linearmente independente (i.i.): um conjunto de vetores \{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} em um espaço vetorial é dito linearmente independente se a única solução do sistema
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\dots+c_{k}v_{k}=0
é c_{1}=c_{2}=\dots=c_{k}=0. Ou seja, não existe combinação linear não trivial (coefficients não todos zero) que dê o vetor zero.
Definição de conjunto linearmente dependente (l.d.): o conjunto é linearmente dependente se existem escalares, não todos zero, tais que
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\dots+c_{k}v_{k}=0.
Isto significa que algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Explicação didática curta: pensar assim — independente significa que cada vetor traz “informação nova”; nenhum é redundante. Dependente significa que há redundância.
Passo 3
(b) Encontrar uma base \alpha e a dimensão de W.
Primeiro, resolvemos as equações que definem W. Escrevemos as condicionantes:
3x-y-z=0
x+t=0.
Da segunda equação vem
t=-x.
Da primeira temos
y=3x-z.
Escolhemos parâmetros livres para descrever todos os vetores de W. Tome x=s e z=r como parâmetros reais. Então
y=3s-r,\qquad t=-s.
Escrevendo o vetor v=(x,y,z,t) em termos de s e r:
v=(s,\;3s-r,\;r,\;-s)=s(1,3,0,-1)+r(0,-1,1,0).
Isso nos dá uma representação de W como combinação linear dos dois vetores
u_{1}=(1,3,0,-1),\qquad u_{2}=(0,-1,1,0).
Agora verificamos que esses dois vetores são linearmente independentes. Para isso, suponha
Da terceira coordenada vem \beta=0. Da primeira vem \alpha=0. Logo \alpha=\beta=0. Portanto são linearmente independentes.
Como conseguimos gerar todo W com dois vetores independentes, esses dois formam uma base de W. Assim podemos escolher
\alpha=\{\, (1,3,0,-1),\; (0,-1,1,0)\,\}.
A dimensão de W é o número de vetores da base, ou seja, \dim W=2.
Passo 4
(c) Gram–Schmidt — explicação do método e aplicação passo a passo.
Explicando o método (passo-a-passo pedagógico): dado um conjunto linearmente independente \{u_{1},u_{2},\dots,u_{k}\}, o processo de Gram–Schmidt constrói um conjunto ortogonal \{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} que gera o mesmo subespaço. A fórmula chave é:
v_{1}=u_{1},
v_{2}=u_{2}-\operatorname{proj}_{v_{1}}(u_{2}),
onde a projeção de um vetor w sobre v (no produto interno padrão) é
e \langle a,b\rangle é o produto interno euclidiano a\cdot b (a soma dos produtos das coordenadas). Depois v_{2} é ortogonal a v_{1}. Para mais vetores, subtrai-se as projeções sobre todos os anteriores.
Aplicando ao nosso caso com u_{1}=(1,3,0,-1) e u_{2}=(0,-1,1,0).
Observação prática: podemos multiplicar v_{2} por qualquer escalar não nulo sem perder a ortogonalidade. Para evitar frações e ficar com números inteiros, multiplicamos por 11. Definimos
w_{2}=11\,v_{2}=(3,\,-2,\,11,\,-3).
Isso facilita contas e w_{2} continua sendo ortogonal a v_{1} (porque multiplicar por escalar não altera ortogonalidade).
Como ambos v_{1} e w_{2} pertencem a W (são combinações lineares de u_{1},u_{2}), o conjunto
\beta=\{\, (1,3,0,-1),\; (3,-2,11,-3)\,\}
é uma base ortogonal de W.
Se você preferir base ortonormal, bastaria dividir cada vetor pelo seu comprimento, mas a questão pediu base ortogonal, então essa forma com inteiros está ótima para a prova.
Passo 5
(d) Matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Primeiro explico o que vou calcular e a convenção que vou usar (importante para não confundir): vou determinar a matriz P tal que, para qualquer vetor v\in W,
[v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha},
ou seja, P converte coordenadas de v na base \alpha para coordenadas na base \beta. Com essa convenção, as colunas de P são exatamente as coordenadas, em \beta, dos vetores da base \alpha.
Temos \alpha=\{u_{1},u_{2}\} com u_{1}=(1,3,0,-1), u_{2}=(0,-1,1,0), e \beta=\{v_{1},w_{2}\} com v_{1}=u_{1} e w_{2}=(3,-2,11,-3).
Coordenadas de u_{1} em \beta: como u_{1}=v_{1}, temos
Checando significado: se [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}s\\\ r\end{pmatrix} (os parâmetros que usamos antes), então
[v]_{\beta}=P\begin{pmatrix}s\\\ r\end{pmatrix}.
Essa é a matriz de mudança de base de \alpha para \beta na convenção [v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha}.]
Resposta
(a) Definições: um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero tem todos os coeficientes iguais a zero; é linearmente dependente se existe combinação linear não trivial que dá zero.
(b) \alpha=\{(1,3,0,-1),\;(0,-1,1,0)\}, \dim W=2.
(c) \beta=\{(1,3,0,-1),\;(3,-2,11,-3)\} (base ortogonal de W).
(d) Matriz de mudança de base de \alpha para \beta (sendo [v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha}):