Questão 3.7

a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y-2 z+t=0\right\} d e \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.

Passo 1

O enunciado tem quatro itens. Ele nos dá o subespaço
W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y-2z+t=0\}.
As perguntas são:
a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
b) Determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
c) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal \beta de W.
d) Determinar a matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
As informações relevantes fornecidas: estamos em \mathbb{R}^4, W é o conjunto de vetores que satisfazem a única equação linear \,x+y-2z+t=0. Não há figura ou dados adicionais.

Passo 2

(a) Definições — vou explicar devagar e com exemplos curtinhos, como um amigo que te anima antes da prova.
Definição de conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.):
\text{Um conjunto } \{v_1,\dots,v_k\}\subset\mathbb{R}^n \text{ é linearmente independente se a única solução do sistema}éúçã
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0
\text{é } c_1=c_2=\cdots=c_k=0.é
Explicando: isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Exemplo curto: \{(1,0),(0,1)\} em \mathbb{R}^2 é independente porque a(1,0)+b(0,1)=(0,0) implica a=b=0.
Definição de conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.):
\text{Um conjunto } \{v_1,\dots,v_k\}\subset\mathbb{R}^n \text{ é linearmente dependente se existem coeficientes não todos zero tal que}éã
c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0.
Explicando: existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero; isto equivale a dizer que pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Exemplo curto: \{(1,0),(2,0)\} é dependente porque -2(1,0) + 1(2,0) = (0,0).
Pronto — definições dadas e entendidas. Agora vamos aplicar isso para encontrar base e dimensão de W.

Passo 3

(b) Encontrar uma base \alpha e a dimensão de W.
Raciocínio: W é o conjunto de vetores (x,y,z,t) que satisfazem uma única equação linear \,x+y-2z+t=0. Em \mathbb{R}^4, uma única restrição linear (independente) costuma reduzir a dimensão em 1. Portanto esperamos \dim W = 3. Vou parametrizar para obter explicitamente uma base.
A equação é
x+y-2z+t=0.
Escolho três variáveis livres para parametrizar: deixe y=s,\; z=u,\; t=v (os parâmetros s,u,v\in\mathbb{R}). Então
x = -y + 2z - t = -s + 2u - v.
Portanto um vetor v\in W pode ser escrito como
v = (x,y,z,t) = (-s+2u-v,\; s,\; u,\; v).
Agora separamos por parâmetros:
v = s(-1,1,0,0) + u(2,0,1,0) + v(-1,0,0,1).
Assim uma escolha natural de geradores (e candidatos a base) é
a_1 = (-1,1,0,0),\qquad a_2=(2,0,1,0),\qquad a_3=(-1,0,0,1).
Mostro que são linearmente independentes: suponha
\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \lambda_3 a_3 = 0.
Isso é o sistema de 4 equações (uma para cada coordenada). Escrevendo coordenadas:
x-coord: -\lambda_1 + 2\lambda_2 - \lambda_3 = 0,
y-coord: \lambda_1 = 0,
z-coord: \lambda_2 = 0,
t-coord: \lambda_3 = 0.
A partir de y-, z-, t-coord já vem \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0. Logo os três vetores são independentes. Portanto formam uma base de W.
Conclusão:
\alpha = \{\,a_1,a_2,a_3\} = \{(-1,1,0,0),\; (2,0,1,0),\; (-1,0,0,1)\},
e
\dim W = 3.

Passo 4

(c) Aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal \beta de W.
Vou usar produto interno usual em \mathbb{R}^4: para u=(u_1,\dots,u_4) e v=(v_1,\dots,v_4),
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 + u_4 v_4.
Fórmula de Gram–Schmidt (versão direta para gerar vetores ortogonais):
Dados vetores a_1,a_2,a_3 linearmente independentes, definimos
u_1 = a_1,
u_2 = a_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_2),\quad\text{onde }\operatorname{proj}_{u_1}(a_2)=\frac{a_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1,
u_3 = a_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(a_3),
e os u_i assim obtidos são mutuamente ortogonais (não necessariamente de norma 1). Vou aplicar passo a passo aos a_i que escolhemos.
Primeiro, lembro os a_i:
a_1 = (-1,1,0,0),\quad a_2=(2,0,1,0),\quad a_3=(-1,0,0,1).
  1. u_1 = a_1.
u_1 = (-1,1,0,0).
Calculo u_1\cdot u_1 = (-1)^2+1^2+0+0 = 2.
  1. Calculo da projeção de a_2 sobre u_1:
a_2\cdot u_1 = 2\cdot(-1) + 0\cdot1 +1\cdot0 +0\cdot0 = -2.
Então
\operatorname{proj}_{u_1}(a_2) = \frac{-2}{2}\,u_1 = -1\cdot u_1 = -u_1.
Portanto
u_2 = a_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_2) = a_2 - (-u_1) = a_2 + u_1.
Computando coordenadas:
u_2 = (2,0,1,0) + (-1,1,0,0) = (1,1,1,0).
Verifico u_2\cdot u_2 = 1^2+1^2+1^2+0 = 3.
  1. Agora u_3. Primeiro as projeções:
a_3\cdot u_1 = (-1)(-1) + 0\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot0 = 1,
\operatorname{proj}_{u_1}(a_3) = \frac{1}{2}\,u_1 = \frac{1}{2}(-1,1,0,0)=\left(-\tfrac12,\tfrac12,0,0\right).
E
a_3\cdot u_2 = (-1)\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = -1,
\operatorname{proj}_{u_2}(a_3) = \frac{-1}{u_2\cdot u_2}\,u_2 = \frac{-1}{3}\,(1,1,1,0) = \left(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},0\right).
Logo
u_3 = a_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(a_3).
Calculo passo a passo:
a_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(a_3) = (-1,0,0,1) - \left(-\tfrac12,\tfrac12,0,0\right) = \left(-\tfrac12,-\tfrac12,0,1\right).
Agora subtraio \operatorname{proj}_{u_2}(a_3):
u_3 = \left(-\tfrac12,-\tfrac12,0,1\right) - \left(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},0\right) = \left(-\tfrac12+\tfrac13,\; -\tfrac12+\tfrac13,\; 0+\tfrac13,\;1\right).
Simplificando frações ( -\tfrac12+\tfrac13 = -\tfrac{1}{6}, 0+\tfrac13=\tfrac13):
u_3 = \left(-\tfrac{1}{6},\; -\tfrac{1}{6},\; \tfrac{1}{3},\; 1\right).
Verificação rápida da ortogonalidade:
u_3\cdot u_1 = (-\tfrac{1}{6})(-1)+(-\tfrac{1}{6})(1)+\tfrac{1}{3}\cdot0+1\cdot0 = \tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{6}=0,
u_3\cdot u_2 = (-\tfrac{1}{6})\cdot1 + (-\tfrac{1}{6})\cdot1 + \tfrac{1}{3}\cdot1 + 1\cdot0 = -\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{3}=0.
Ótimo — u_1,u_2,u_3 são mutuamente ortogonais.
Observação prática: podemos escalar qualquer vetor de uma base ortogonal sem perder ortogonalidade. Para ter entradas inteiras no terceiro vetor, multiplico u_3 por 6 e defino
w_3 = 6u_3 = (-1,-1,2,6).
Assim uma base ortogonal conveniente é
\beta = \{\,u_1,u_2,w_3\} = \{\,(-1,1,0,0),\; (1,1,1,0),\; (-1,-1,2,6)\}.
(Se preferir manter exatamente o resultado de Gram–Schmidt sem escala, poderia usar u_3 em vez de w_3; ambas as escolhas produzem uma base ortogonal.)

Passo 5

(d) Matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Vou interpretar "matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta" como a matriz M que converte coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta, ou seja, para qualquer v\in W,
[v]_{\beta} = M\,[v]_{\alpha}.
Procedimento prático: se escrevemos as vetores da base \beta em coordenadas da base \alpha, obtemos uma matriz triangular C tal que, em notação matricial (colunas são coordenadas em padrão \alpha),
\text{(colunas de } \beta\text{ em coordenadas de }\alpha) = C.
A relação entre coordenadas é
[v]_{\alpha} = C\,[v]_{\beta} \quad\Longrightarrow\quad [v]_{\beta} = C^{-1}[v]_{\alpha}.
Logo M=C^{-1}.
Já calculamos relações durante Gram–Schmidt:
  • u_1 = a_1 dá coordenadas em \alpha: [u_1]_{\alpha}=(1,0,0).
  • u_2 = a_1 + a_2 [u_2]_{\alpha}=(1,1,0).
  • Para u_3 (antes de escalarmos), encontramos
u_3 = -\tfrac{1}{6}a_1 + \tfrac{1}{3}a_2 + 1\cdot a_3,
ou seja [u_3]_{\alpha}=(-\tfrac{1}{6},\;\tfrac{1}{3},\;1).
Portanto a matriz C (colunas = coordenadas de \beta em \alpha) é
C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\tfrac{1}{6} \\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3} \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora calculamos C^{-1}. Como C é triangular superior, fazemos substituição regressiva (ou calculamos diretamente); o resultado é
C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & \tfrac{1}{2} \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: C\,C^{-1}=I (pode-se checar multiplicando).
Conclusão: M = C^{-1} é a matriz que transforma coordenadas de \alpha em coordenadas de \beta.

Resposta

(a) Um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução de \,c_1 v_1+\cdots+c_k v_k=0 é c_1=\cdots=c_k=0. É linearmente dependente se existe uma combinação não trivial (coeficientes não todos zero) que dá o vetor zero.
(b) \displaystyle \alpha=\{(-1,1,0,0),\;(2,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},\quad \dim W=3.
(c) Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt é \displaystyle \beta=\{(-1,1,0,0),\;(1,1,1,0),\;(-1,-1,2,6)\}.
(d) Matriz de mudança de base de \alpha para \beta (isto é, [v]_{\beta}=M[v]_{\alpha}) é
M=\begin{pmatrix} 1 & -1 & \tfrac{1}{2} \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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