a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y-2 z+t=0\right\} d e \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.
Passo 1
O enunciado tem quatro itens. Ele nos dá o subespaço
W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y-2z+t=0\}.
As perguntas são:
a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
b) Determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
c) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal \beta de W.
d) Determinar a matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
As informações relevantes fornecidas: estamos em \mathbb{R}^4, W é o conjunto de vetores que satisfazem a única equação linear \,x+y-2z+t=0. Não há figura ou dados adicionais.
Passo 2
(a) Definições — vou explicar devagar e com exemplos curtinhos, como um amigo que te anima antes da prova.
Definição de conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.):
\text{Um conjunto } \{v_1,\dots,v_k\}\subset\mathbb{R}^n \text{ é linearmente independente se a única solução do sistema}
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0
\text{é } c_1=c_2=\cdots=c_k=0.
Explicando: isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Exemplo curto: \{(1,0),(0,1)\} em \mathbb{R}^2 é independente porque a(1,0)+b(0,1)=(0,0) implica a=b=0.
Definição de conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.):
\text{Um conjunto } \{v_1,\dots,v_k\}\subset\mathbb{R}^n \text{ é linearmente dependente se existem coeficientes não todos zero tal que}
c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0.
Explicando: existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero; isto equivale a dizer que pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Exemplo curto: \{(1,0),(2,0)\} é dependente porque -2(1,0) + 1(2,0) = (0,0).
Pronto — definições dadas e entendidas. Agora vamos aplicar isso para encontrar base e dimensão de W.
Passo 3
(b) Encontrar uma base \alpha e a dimensão de W.
Raciocínio: W é o conjunto de vetores (x,y,z,t) que satisfazem uma única equação linear \,x+y-2z+t=0. Em \mathbb{R}^4, uma única restrição linear (independente) costuma reduzir a dimensão em 1. Portanto esperamos \dim W = 3. Vou parametrizar para obter explicitamente uma base.
A equação é
x+y-2z+t=0.
Escolho três variáveis livres para parametrizar: deixe y=s,\; z=u,\; t=v (os parâmetros s,u,v\in\mathbb{R}). Então
x = -y + 2z - t = -s + 2u - v.
Portanto um vetor v\in W pode ser escrito como
v = (x,y,z,t) = (-s+2u-v,\; s,\; u,\; v).
Agora separamos por parâmetros:
v = s(-1,1,0,0) + u(2,0,1,0) + v(-1,0,0,1).
Assim uma escolha natural de geradores (e candidatos a base) é
Isso é o sistema de 4 equações (uma para cada coordenada). Escrevendo coordenadas:
x-coord: -\lambda_1 + 2\lambda_2 - \lambda_3 = 0,
y-coord: \lambda_1 = 0,
z-coord: \lambda_2 = 0,
t-coord: \lambda_3 = 0.
A partir de y-, z-, t-coord já vem \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0. Logo os três vetores são independentes. Portanto formam uma base de W.
Observação prática: podemos escalar qualquer vetor de uma base ortogonal sem perder ortogonalidade. Para ter entradas inteiras no terceiro vetor, multiplico u_3 por 6 e defino
(Se preferir manter exatamente o resultado de Gram–Schmidt sem escala, poderia usar u_3 em vez de w_3; ambas as escolhas produzem uma base ortogonal.)
Passo 5
(d) Matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Vou interpretar "matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta" como a matriz M que converte coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta, ou seja, para qualquer v\in W,
[v]_{\beta} = M\,[v]_{\alpha}.
Procedimento prático: se escrevemos as vetores da base \beta em coordenadas da base \alpha, obtemos uma matriz triangular C tal que, em notação matricial (colunas são coordenadas em padrão \alpha),
\text{(colunas de } \beta\text{ em coordenadas de }\alpha) = C.
Conclusão: M = C^{-1} é a matriz que transforma coordenadas de \alpha em coordenadas de \beta.
Resposta
(a) Um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução de \,c_1 v_1+\cdots+c_k v_k=0 é c_1=\cdots=c_k=0. É linearmente dependente se existe uma combinação não trivial (coeficientes não todos zero) que dá o vetor zero.
(b) \displaystyle \alpha=\{(-1,1,0,0),\;(2,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\},\quad \dim W=3.
(c) Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt é \displaystyle \beta=\{(-1,1,0,0),\;(1,1,1,0),\;(-1,-1,2,6)\}.
(d) Matriz de mudança de base de \alpha para \beta (isto é, [v]_{\beta}=M[v]_{\alpha}) é