Questão 3.8

a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=
\left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x+y-3 z=0\right. e \left.t+x=0\right\} de \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.

Passo 1

O enunciado tem quatro partes. Vou listar exatamente o que é pedido e as informações fornecidas, para não nos perdermos:
  • (a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
  • (b) Para o subespaço W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 2x+y-3z=0 \text{ e } t+x=0\}, determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
  • (c) Usar o método de Gram–Schmidt para encontrar uma base ortogonal \beta de W.
  • (d) Determinar a matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Informações dadas sobre W: duas equações lineares em quatro incógnitas:
2x+y-3z=0,\qquad t+x=0.

Passo 2

(a) Definições bem mastigadas e intuitivas.
  • Conjunto linearmente independente (I.i.):
    • Definição formal: um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em \mathbb{R}^n é linearmente independente se a única solução do sistema
    c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0
    é c_1=c_2=\cdots=c_k=0.
    • Interpretação: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; todos trazem “informação nova”.
    • Exemplo simples: \{(1,0),(0,1)\} em \mathbb{R}^2 é I.i., porque a(1,0)+b(0,1)=(0,0) implica a=b=0.
  • Conjunto linearmente dependente (l.d.):
    • Definição formal: o conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente dependente se existem coeficientes, nem todos zero, tais que
    c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0.
    • Interpretação: pelo menos um vetor é combinação linear dos outros.
    • Exemplo simples: \{(1,0),(2,0)\} é l.d., porque (2,0) - 2(1,0) = (0,0) dá coeficientes não todos nulos.

Passo 3

(b) Encontrar uma base \alpha e a dimensão de W.
Vamos resolver o sistema para parametrizar os vetores de W.
Das equações, temos
2x+y-3z=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-y+3z}{2},
t+x=0\quad\Rightarrow\quad t=-x=\frac{y-3z}{2}.
Tomando y e z como parâmetros livres, escrevemos um vetor genérico v\in W como
v=\left(x,y,z,t\right) =\left(\frac{-y+3z}{2},\,y,\,z,\,\frac{y-3z}{2}\right).
Separando em combinações de y e z:
v = y\left(\frac{-1}{2},\,1,\,0,\,\frac{1}{2}\right) + z\left(\frac{3}{2},\,0,\,1,\,\frac{-3}{2}\right).
Esses dois vetores geram W. Para evitar frações e deixar uma base com coeficientes inteiros, multiplicamos cada gerador por 2. Obtemos dois vetores geradores independentes:
u_1 = \big(-1,\,2,\,0,\,1\big),\qquad u_2 = \big(3,\,0,\,2,\,-3\big).
Argumento da dimensão: havia duas equações independentes numa ambientação de dimensão 4, então esperamos dimensão 4-2=2. Também vimos dois parâmetros livres (y,z), logo \dim W=2. Como u_1 e u_2 não são múltiplos um do outro (logo são linearmente independentes), eles formam uma base.
Portanto uma base conveniente é
\alpha=\{\,u_1,u_2\,\}=\{\,(-1,2,0,1),\; (3,0,2,-3)\,\},
e \dim W=2.

Passo 4

(c) Explicação didática do método de Gram–Schmidt (para o caso de dois vetores, que é o nosso caso).
Objetivo: a partir de uma base qualquer \{u_1,u_2\} construir uma base ortogonal \{b_1,b_2\} do mesmo subespaço com a mesma ordem de geração.
Passos do algoritmo (versão para dois vetores):
  1. Tome b_1 = u_1.
  2. Projete u_2 sobre b_1 usando a projeção ortogonal: \operatorname{proj}_{b_1}(u_2) = \frac{\langle u_2,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle}\, b_1,onde \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno (no caso padrão, o produto interno euclidiano: \langle a,b\rangle = a\cdot b).
  3. Defina b_2 = u_2 - \operatorname{proj}_{b_1}(u_2). Por construção, b_2 é ortogonal a b_1.
  4. Se quiser uma base ortonormal, normaliza-se cada b_i dividindo pelo seu comprimento \|b_i\|=\sqrt{\langle b_i,b_i\rangle}. Aqui apenas pediram ortogonal, então a normalização é opcional.

Passo 5

Aplicando Gram–Schmidt aos vetores \alpha.
Tomamos
u_1 = (-1,2,0,1),\qquad u_2=(3,0,2,-3).
Passo 1: b_1 = u_1.
Calculemos produtos internos:
\langle b_1,b_1\rangle = (-1)^2+2^2+0^2+1^2 = 1+4+0+1 = 6.
\langle u_2,b_1\rangle = 3\cdot(-1) + 0\cdot2 + 2\cdot0 + (-3)\cdot1 = -3 + 0 + 0 -3 = -6.
A projeção de u_2 sobre b_1 é
\operatorname{proj}_{b_1}(u_2) = \frac{\langle u_2,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle}\, b_1 = \frac{-6}{6}\, b_1 = -1\cdot b_1 = -b_1.
Então
b_2 = u_2 - \operatorname{proj}_{b_1}(u_2) = u_2 - (-b_1) = u_2 + b_1.
Calculemos:
b_2 = (3,0,2,-3) + (-1,2,0,1) = (2,2,2,-2).
Podemos simplificar b_2 dividindo por 2 (isso mantém ortogonalidade e produz vetores mais simples):
b_2' = \frac{1}{2}b_2 = (1,1,1,-1).
Escolho como base ortogonal
\beta = \{\,b_1,\; b_2'\,\} = \{\,(-1,2,0,1),\; (1,1,1,-1)\,\}.

Passo 6

Verificação rápida de ortogonalidade (para ter confiança):
Calcule \langle b_1,b_2'\rangle:
\langle (-1,2,0,1),\; (1,1,1,-1)\rangle = -1\cdot1 + 2\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot(-1) = -1+2+0-1 = 0.
Como o produto interno é zero, b_1 e b_2' são ortogonais. Ambos estão em W e são independentes, logo formam base ortogonal de W.

Passo 7

(d) Matriz de mudança de base de [\alpha) para \beta.
Explicação do que é essa matriz: a matriz P da mudança de base de \alpha para \beta é a matriz que transforma coordenadas relativas a \alpha em coordenadas relativas a \beta. Em termos práticos, as colunas de P são as coordenadas dos vetores da base \alpha expressos na base \beta.
Temos
\alpha = \{u_1,u_2\}=\{b_1,u_2\}\quad\text{e}\quad \beta=\{b_1,b_2'\}.
  • Coordenadas de u_1 na base \beta: como u_1=b_1, claramente
[u_1]_{\beta} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Coordenadas de u_2 na base \beta: procuramos escalares c_1,c_2 tais que
c_1 b_1 + c_2 b_2' = u_2.
Escrevendo as componentes e resolvendo:
c_1(-1,2,0,1) + c_2(1,1,1,-1) = (3,0,2,-3).
Isso dá o sistema (por componentes)
\begin{cases} - c_1 + c_2 = 3,\\[4pt] 2 c_1 + c_2 = 0,\\[4pt] 0\cdot c_1 + c_2 = 2,\\[4pt] c_1 - c_2 = -3. \end{cases}
Da terceira equação temos c_2=2\]. Substituindo na primeira, \(-c_1+2=3 implica c_1=-1. As outras equações conferem.
Assim
[u_2]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Então a matriz de mudança de base P (de \alpha para \beta) tem como colunas essas coordenadas:
P = \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
Interpretação: se [v]_{\alpha} é o vetor de coordenadas de v na base \alpha, então
[v]_{\beta} = P\,[v]_{\alpha}.]

Resposta

(a) I.i.: um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução de c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0 é c_1=\cdots=c_k=0.\n
l.d.: é linearmente dependente se existem coeficientes, nem todos zero, com c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0.\n
(b) \alpha=\{\,(-1,2,0,1),\;(3,0,2,-3)\,\}, \dim W=2.\n
(c) \beta=\{\,(-1,2,0,1),\;(1,1,1,-1)\,\} (base ortogonal de W).\n
(d) Matriz de mudança de base de \alpha para \beta:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}]

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