a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W= \left\{v=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x+y-3 z=0\right. e \left.t+x=0\right\} de \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base alpha e a dimensão de W .
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal beta de W.
d) Determine a matriz de mudança de base da base alpha para a base beta.
Passo 1
O enunciado tem quatro partes. Vou listar exatamente o que é pedido e as informações fornecidas, para não nos perdermos:
(a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (I.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
(b) Para o subespaço W=\{v=(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 2x+y-3z=0 \text{ e } t+x=0\}, determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
(c) Usar o método de Gram–Schmidt para encontrar uma base ortogonal \beta de W.
(d) Determinar a matriz de mudança de base da base \alpha para a base \beta.
Informações dadas sobre W: duas equações lineares em quatro incógnitas:
2x+y-3z=0,\qquad t+x=0.
Passo 2
(a) Definições bem mastigadas e intuitivas.
Conjunto linearmente independente (I.i.):
Definição formal: um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em \mathbb{R}^n é linearmente independente se a única solução do sistema
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = 0
é c_1=c_2=\cdots=c_k=0.
Interpretação: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; todos trazem “informação nova”.
Exemplo simples: \{(1,0),(0,1)\} em \mathbb{R}^2 é I.i., porque a(1,0)+b(0,1)=(0,0) implica a=b=0.
Conjunto linearmente dependente (l.d.):
Definição formal: o conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente dependente se existem coeficientes, nem todos zero, tais que
c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0.
Interpretação: pelo menos um vetor é combinação linear dos outros.
Exemplo simples: \{(1,0),(2,0)\} é l.d., porque (2,0) - 2(1,0) = (0,0) dá coeficientes não todos nulos.
Passo 3
(b) Encontrar uma base \alpha e a dimensão de W.
Vamos resolver o sistema para parametrizar os vetores de W.
v = y\left(\frac{-1}{2},\,1,\,0,\,\frac{1}{2}\right) + z\left(\frac{3}{2},\,0,\,1,\,\frac{-3}{2}\right).
Esses dois vetores geram W. Para evitar frações e deixar uma base com coeficientes inteiros, multiplicamos cada gerador por 2. Obtemos dois vetores geradores independentes:
Argumento da dimensão: havia duas equações independentes numa ambientação de dimensão 4, então esperamos dimensão 4-2=2. Também vimos dois parâmetros livres (y,z), logo \dim W=2. Como u_1 e u_2 não são múltiplos um do outro (logo são linearmente independentes), eles formam uma base.
(c) Explicação didática do método de Gram–Schmidt (para o caso de dois vetores, que é o nosso caso).
Objetivo: a partir de uma base qualquer \{u_1,u_2\} construir uma base ortogonal \{b_1,b_2\} do mesmo subespaço com a mesma ordem de geração.
Passos do algoritmo (versão para dois vetores):
Tome b_1 = u_1.
Projete u_2 sobre b_1 usando a projeção ortogonal:\operatorname{proj}_{b_1}(u_2) = \frac{\langle u_2,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle}\, b_1,onde \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno (no caso padrão, o produto interno euclidiano: \langle a,b\rangle = a\cdot b).
Defina b_2 = u_2 - \operatorname{proj}_{b_1}(u_2). Por construção, b_2 é ortogonal a b_1.
Se quiser uma base ortonormal, normaliza-se cada b_i dividindo pelo seu comprimento \|b_i\|=\sqrt{\langle b_i,b_i\rangle}. Aqui apenas pediram ortogonal, então a normalização é opcional.
Como o produto interno é zero, b_1 e b_2' são ortogonais. Ambos estão em W e são independentes, logo formam base ortogonal de W.
Passo 7
(d) Matriz de mudança de base de [\alpha) para \beta.
Explicação do que é essa matriz: a matriz P da mudança de base de \alpha para \beta é a matriz que transforma coordenadas relativas a \alpha em coordenadas relativas a \beta. Em termos práticos, as colunas de P são as coordenadas dos vetores da base \alpha expressos na base \beta.
Então a matriz de mudança de base P (de \alpha para \beta) tem como colunas essas coordenadas:
P = \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
Interpretação: se [v]_{\alpha} é o vetor de coordenadas de v na base \alpha, então
[v]_{\beta} = P\,[v]_{\alpha}.]
Resposta
(a) I.i.: um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução de c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0 é c_1=\cdots=c_k=0.\n
l.d.: é linearmente dependente se existem coeficientes, nem todos zero, com c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0.\n
(b) \alpha=\{\,(-1,2,0,1),\;(3,0,2,-3)\,\}, \dim W=2.\n
(c) \beta=\{\,(-1,2,0,1),\;(1,1,1,-1)\,\} (base ortogonal de W).\n
(d) Matriz de mudança de base de \alpha para \beta: