Questão 2: Calcule os limites
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
onde
e
.
Informações relevantes dadas:
- A variável que tende ao infinito é
. - O parâmetro
é um natural fixo (qualquer ). - A expressão é uma potência com base que tende a
quando e expoente que tende a . Esse é o tipo de limite clássico que costuma dar .
Passo 2
Transformar a base numa forma mais conveniente. Note que
Para simplificar a notação, faça a substituição auxiliar
Como
temos também
. Reescrevendo a potência em função de
:
pois
.
Passo 3
Separe a potência em dois fatores para aproveitar limites conhecidos:
Agora vamos estudar cada fator quando
.
Primeiro fator:
.
É uma forma padrão que converge para a constante . Uma forma direta de ver isso é tomar logaritmo e usar um limite simples. Defina
É uma forma padrão que converge para a constante
Então
Para avaliar
faça a mudança
(então
) e observe que
Conhece-se (e pode ser mostrado por série de Taylor ou por L’Hôpital) que
Portanto
o que implica
Isso é o clássico limite que define
.
Passo 4
Segundo fator:
.
Quando temos
, então
Quando
Mais formalmente,
, logo
e o exponencial tende a
.
Passo 5
Multiplicando os limites dos dois fatores (produto de limites quando existem):
Portanto o limite pedido vale
, independentemente do valor natural
.