Questão 2: Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+k}{x+(k-1)}\right)^{x}, k \in \mathbb{N}, k \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+k}{x+(k-1)}\right)^{x},
onde k\in\mathbb{N} e k\ge 1.
Informações relevantes dadas:
  • A variável que tende ao infinito é x.
  • O parâmetro k é um natural fixo (qualquer k=1,2,3,\dots).
  • A expressão é uma potência com base que tende a 1 quando x\to+\infty e expoente que tende a +\infty. Esse é o tipo de limite clássico que costuma dar e^{\text{alguma coisa}}.

Passo 2

Transformar a base numa forma mais conveniente. Note que
\frac{x+k}{x+(k-1)} = 1 + \frac{1}{x+(k-1)}.
Para simplificar a notação, faça a substituição auxiliar
y = x + k - 1.
Como x\to+\infty temos também y\to+\infty. Reescrevendo a potência em função de y:
\left(\frac{x+k}{x+(k-1)}\right)^{x} = \left(1+\frac{1}{x+(k-1)}\right)^{x} = \left(1+\frac{1}{y}\right)^{\,y-k+1},
pois x = y - k + 1.

Passo 3

Separe a potência em dois fatores para aproveitar limites conhecidos:
\left(1+\frac{1}{y}\right)^{\,y-k+1} = \left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\cdot\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-k+1}.
Agora vamos estudar cada fator quando y\to+\infty.
Primeiro fator: \left(1+\dfrac{1}{y}\right)^{y}.
É uma forma padrão que converge para a constante e. Uma forma direta de ver isso é tomar logaritmo e usar um limite simples. Defina
A(y)=\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}.
Então
\ln A(y)=y\ln\!\left(1+\frac{1}{y}\right).
Para avaliar \lim_{y\to\infty}\ln A(y) faça a mudança t=\dfrac{1}{y} (então t\to 0^+) e observe que
y\ln\!\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{\ln(1+t)}{t}.
Conhece-se (e pode ser mostrado por série de Taylor ou por L’Hôpital) que
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Portanto
\lim_{y\to\infty}y\ln\!\left(1+\frac{1}{y}\right)=1,
o que implica
\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}=e^{1}=e.
Isso é o clássico limite que define e.

Passo 4

Segundo fator: \left(1+\dfrac{1}{y}\right)^{-k+1}.
Quando y\to\infty temos \dfrac{1}{y}\to 0, então
\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-k+1} = 1^{-k+1}=1.
Mais formalmente, \ln\!\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\to 0, logo (-k+1)\ln\!\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\to 0 e o exponencial tende a 1.

Passo 5

Multiplicando os limites dos dois fatores (produto de limites quando existem):
\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{\,y-k+1} = \left(\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right)\cdot\left(\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-k+1}\right) = e\cdot 1 = e.
Portanto o limite pedido vale e, independentemente do valor natural k\ge1.

Resposta

e

Exercícios relacionados