Questão 1: Enuncie o Teorema do Valor Intermediário, na sequência prove que a equação
possui pelo menos uma solução real.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Enunciar o Teorema do Valor Intermediário.
- Provar que a equação
possui pelo menos uma solução real.
Informações dadas relevantes:
- A incógnita aparece em
e em , portanto a expressão com exige que consideremos no intervalo . - A equação pode ser rearranjada para uma forma de raiz de função (subtraindo
dos dois lados): isso será usado para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Enunciado (claro e direto) do Teorema do Valor Intermediário:
Comentário intuitivo rápido: se uma função é contínua em um intervalo e nos extremos ela assume dois valores diferentes, então ela atinge todos os valores intermediários naquele intervalo — em particular o zero, se os sinais em
e
forem opostos.
Passo 3
Transformar a equação em uma questão sobre zeros de uma função. Subtraindo
dos dois lados da equação dada:
Defino a função
com domínio natural
porque
exige
. O objetivo agora é mostrar que existe
tal que
. Pelo Teorema do Valor Intermediário é suficiente encontrar um intervalo
em que
seja contínua e
e
tenham sinais opostos.
Passo 4
Verificar que
é contínua em
(ou em qualquer intervalo contido em
):
- A função
é polinomial, logo contínua em . - A função
é contínua em . - A função
é contínua em . - O produto de funções contínuas é contínuo, logo
é contínuo em . - A soma de funções contínuas é contínua, assim
é contínua em , portanto em particular contínua em qualquer intervalo , por exemplo em .
Breve explicação do porquê disso bastar: o Teorema do Valor Intermediário exige continuidade no intervalo considerado; já mostramos que essa hipótese está satisfeita.
Passo 5
Calcular
em dois pontos fáceis e verificar sinais:
- Em
:
Portanto
.
- Em
:
Como
, tem-se
. Logo
.
Assim
e
têm sinais opostos.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à função
no intervalo
: como
é contínua em
e
, existe
tal que
Mas
é exatamente a forma rearranjada da equação original. Portanto a equação dada tem pelo menos uma solução real, localizada em
.
Resposta
Existe pelo menos uma solução real
com
.