Questão 1: Enuncie o Teorema do Valor Intermediário, na sequência prove que a equação
x^{2}+\sqrt{x} e^{x}-1=1
possui pelo menos uma solução real.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Enunciar o Teorema do Valor Intermediário.
  • Provar que a equação
x^{2}+\sqrt{x}\,e^{x}-1=1
possui pelo menos uma solução real.
Informações dadas relevantes:
  • A incógnita aparece em x^{2} e em \sqrt{x}, portanto a expressão com \sqrt{x} exige que consideremos x no intervalo [0,\infty).
  • A equação pode ser rearranjada para uma forma de raiz de função (subtraindo 1 dos dois lados): isso será usado para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Enunciado (claro e direto) do Teorema do Valor Intermediário:
\text{Se }f\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }y_0\text{ é um número entre }f(a)\text{ e }f(b), \text{ então existe }c\in[a,b]\text{ tal que }f\text{(c)}=y_0.éíéúã
Comentário intuitivo rápido: se uma função é contínua em um intervalo e nos extremos ela assume dois valores diferentes, então ela atinge todos os valores intermediários naquele intervalo — em particular o zero, se os sinais em a e b forem opostos.

Passo 3

Transformar a equação em uma questão sobre zeros de uma função. Subtraindo 1 dos dois lados da equação dada:
x^{2}+\sqrt{x}\,e^{x}-1=1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+\sqrt{x}\,e^{x}-2=0.
Defino a função
f(x)=x^{2}+\sqrt{x}\,e^{x}-2,
com domínio natural
\text{dom}(f)=[0,\infty),
porque \sqrt{x} exige x\ge0. O objetivo agora é mostrar que existe c\in[0,\infty) tal que f\text{(c)}=0. Pelo Teorema do Valor Intermediário é suficiente encontrar um intervalo [a,b]\subset[0,\infty) em que f seja contínua e f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 4

Verificar que f é contínua em [0,1] (ou em qualquer intervalo contido em [0,\infty)):
  • A função x\mapsto x^{2} é polinomial, logo contínua em \mathbb{R}.
  • A função x\mapsto \sqrt{x} é contínua em [0,\infty).
  • A função x\mapsto e^{x} é contínua em \mathbb{R}.
  • O produto de funções contínuas é contínuo, logo x\mapsto \sqrt{x}\,e^{x} é contínuo em [0,\infty).
  • A soma de funções contínuas é contínua, assim f(x)=x^{2}+\sqrt{x}\,e^{x}-2 é contínua em [0,\infty), portanto em particular contínua em qualquer intervalo [a,b]\subset[0,\infty), por exemplo em [0,1].
Breve explicação do porquê disso bastar: o Teorema do Valor Intermediário exige continuidade no intervalo considerado; já mostramos que essa hipótese está satisfeita.

Passo 5

Calcular f em dois pontos fáceis e verificar sinais:
  • Em x=0:
f(0)=0^{2}+\sqrt{0}\,e^{0}-2=0+0\cdot 1-2=-2.
Portanto f(0)=-2<0.
  • Em x=1:
f(1)=1^{2}+\sqrt{1}\,e^{1}-2=1+1\cdot e-2=e-1.
Como e\approx2{,}718, tem-se e-1>0. Logo f(1)>0.
Assim f(0) e f(1) têm sinais opostos.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à função f no intervalo [0,1]: como f é contínua em [0,1] e f(0)=-2<0<f(1)=e-1, existe c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0.
Mas f\text{(c)}=0 é exatamente a forma rearranjada da equação original. Portanto a equação dada tem pelo menos uma solução real, localizada em (0,1).

Resposta

Existe pelo menos uma solução real x com 0<x<1.

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