Questão 2.2
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 z=0\right. e \left.y+t=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) dar uma definição de “subespaço vetorial” e (b) determinar se o subconjunto
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3z=0\\ \text{e}\\ y+t=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4.\n
Informações dadas: as duas equações lineares que definem S: x-3z=0 e y+t=0. Não há outras condições.

Passo 2

Definição bem direta (a que é prática para a prova):\n
Um subconjunto W de um espaço vetorial V sobre \mathbb{R} é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in W (o vetor zero pertence a W);\n
  2. Para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, tem-se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W (fechado para soma);\n
  3. Para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e qualquer \mathbf{u}\in W, tem-se c\mathbf{u}\in W (fechado para multiplicação por escalar).\n
    Explicando de leve: a ideia é que um subespaço deve ser não-vazio (normalmente garantido checando o vetor zero) e fechado para combinações lineares simples (soma e escalar). Na prova, em vez de checar todas as combinações lineares, checar essas três propriedades é suficiente.

Passo 3

Vamos reescrever S de uma forma mais útil para checar as propriedades. As equações
x-3z=0\quad\text{e}\quad y+t=0
dão
x=3z\quad\text{e}\quad y=-t.
Podemos tomar z e t como parâmetros livres. Defina s=z e r=t. Então qualquer vetor de S tem a forma
(x,y,z,t)=(3s,-r,s,r).
Escrevendo em combinação de vetores:
(3s,-r,s,r)=s\,(3,0,1,0)+r\,(0,-1,0,1),\qquad s,r\in\mathbb{R}.
Esta é uma parametrização de S como o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores (3,0,1,0) e (0,-1,0,1).

Passo 4

Verificação do vetor zero ( \mathbf{0}\in S).\n
Se escolhemos s=0 e r=0 na parametrização, obtemos
(3\cdot 0,-0,0,0)=(0,0,0,0).
Logo \mathbf{0}\in S. Isso cuida da propriedade 1 da definição.

Passo 5

Verificação de fechamento por soma.\n
Sejam \mathbf{u},\mathbf{v}\in S. Então existem s_1,r_1,s_2,r_2\in\mathbb{R} tais que
\mathbf{u}=s_1(3,0,1,0)+r_1(0,-1,0,1),\qquad \mathbf{v}=s_2(3,0,1,0)+r_2(0,-1,0,1).
Somando:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(s_1+s_2)(3,0,1,0)+(r_1+r_2)(0,-1,0,1).
Como s_1+s_2 e r_1+r_2 são reais, a soma tem a mesma forma parametrizada, portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S. Assim S é fechado para soma.

Passo 6

Verificação de fechamento por multiplicação escalar.\n
Seja \mathbf{u}\in S com \mathbf{u}=s(3,0,1,0)+r(0,-1,0,1) e seja c\in\mathbb{R}. Então
c\mathbf{u}=c s\,(3,0,1,0)+c r\,(0,-1,0,1),
que novamente é da forma parametrizada com parâmetros cs e cr. Logo c\mathbf{u}\in S. Assim S é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 7

Conclusão lógica.\n
Mostramos que \mathbf{0}\in S, que S é fechado para soma e fechado para multiplicação por escalares. Pelas condições da definição, S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.\n
Observação prática: outra maneira curta (mas equivalente) de ver isso é notar que S é o conjunto solução homogêneo de um sistema linear (duas equações homogêneas) — o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é sempre um subespaço (é o núcleo de uma transformação linear).

Resposta

(a) Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se \mathbf{0}\in W, W é fechado para soma e W é fechado para multiplicação por escalar.\n
(b) Sim. S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4 (por exemplo, S=\operatorname{span}\{(3,0,1,0),(0,-1,0,1)\}).

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