Questão 2.2
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
e
a) Defina subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) dar uma definição de “subespaço vetorial” e (b) determinar se o subconjunto
é um subespaço de
.\n
Informações dadas: as duas equações lineares que definem :
e
. Não há outras condições.
Informações dadas: as duas equações lineares que definem
Passo 2
Definição bem direta (a que é prática para a prova):\n
Um subconjunto de um espaço vetorial
sobre
é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
Um subconjunto
-
(o vetor zero pertence a );\n - Para quaisquer
, tem-se (fechado para soma);\n - Para qualquer escalar
e qualquer , tem-se (fechado para multiplicação por escalar).\n
Explicando de leve: a ideia é que um subespaço deve ser não-vazio (normalmente garantido checando o vetor zero) e fechado para combinações lineares simples (soma e escalar). Na prova, em vez de checar todas as combinações lineares, checar essas três propriedades é suficiente.
Passo 3
Vamos reescrever
de uma forma mais útil para checar as propriedades. As equações
dão
Podemos tomar
e
como parâmetros livres. Defina
e
. Então qualquer vetor de
tem a forma
Escrevendo em combinação de vetores:
Esta é uma parametrização de
como o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores
e
.
Passo 4
Verificação do vetor zero (
).\n
Se escolhemos e
na parametrização, obtemos
Se escolhemos
Logo
. Isso cuida da propriedade 1 da definição.
Passo 5
Verificação de fechamento por soma.\n
Sejam . Então existem
tais que
Sejam
Somando:
Como
e
são reais, a soma tem a mesma forma parametrizada, portanto
. Assim
é fechado para soma.
Passo 6
Verificação de fechamento por multiplicação escalar.\n
Seja com
e seja
. Então
Seja
que novamente é da forma parametrizada com parâmetros
e
. Logo
. Assim
é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 7
Conclusão lógica.\n
Mostramos que , que
é fechado para soma e fechado para multiplicação por escalares. Pelas condições da definição,
é um subespaço vetorial de
.\n
Observação prática: outra maneira curta (mas equivalente) de ver isso é notar que é o conjunto solução homogêneo de um sistema linear (duas equações homogêneas) — o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é sempre um subespaço (é o núcleo de uma transformação linear).
Mostramos que
Observação prática: outra maneira curta (mas equivalente) de ver isso é notar que
Resposta
(a) Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se
,
é fechado para soma e
é fechado para multiplicação por escalar.\n
(b) Sim. é um subespaço vetorial de
(por exemplo,
).
(b) Sim.