Questão 2.1
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x-y=0\right. ou \left.z+t=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Definir o que é um subespaço vetorial.
  2. Determinar se o conjunto
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 2x-y=0 \text{ ou } z+t=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4.
Informações dadas: o conjunto U é formado por todos os vetores em \mathbb{R}^4 que satisfazem pelo menos uma das duas equações lineares homogêneas \;2x-y=0\; ou \;z+t=0\;.

Passo 2

Definição (passo-a-passo e didático). Vou explicar o que significa ser subespaço vetorial de um jeito bem prático:
  • Um subconjunto W\subset\mathbb{R}^n é um subespaço vetorial quando W é fechado para as operações de soma e multiplicação por escalar e contém o vetor zero. Formalmente, uma forma prática de testar é verificar três propriedades:
    1. \mathbf{0}\in W (onde \mathbf{0} é o vetor nulo).
    2. Para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, tem-se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W (fechamento por soma).
    3. Para qualquer \mathbf{u}\in W e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, tem-se c\mathbf{u}\in W (fechamento por multiplicação por escalar).
Por que isso funciona? Porque um subespaço precisa ser um espaço vetorial por si só, então precisa satisfazer as mesmas propriedades de soma e escalar que \mathbb{R}^n. Em exercícios, é suficiente verificar essas três propriedades (contar o zero, soma e escalar).

Passo 3

Interpretação de U como união de dois subconjuntos mais simples. Vou separar U em duas partes naturais:
  • Defina A=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid 2x-y=0\},e B=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid z+t=0\}.
Então U=A\cup B (porque o enunciado usou “ou”).
Observação importante (didática): tanto A quanto B são conjuntos definidos por uma equação linear homogênea. Esses tipos de conjuntos costumam ser subespaços (hiperplanos que passam pela origem). Vou verificar isso para cada um.

Passo 4

Mostrando que A e B são subespaços (isto ajuda a entender a estrutura de U).
  • Para A:
    1. O vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0,0) satisfaz 2\cdot 0 - 0 = 0, logo \mathbf{0}\in A.
    2. Se \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in A e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in A, então 2x_1-y_1=0 e 2x_2-y_2=0. Para a soma: 2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)=(2x_1-y_1)+(2x_2-y_2)=0+0=0,portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in A.
    3. Para escalar c\in\mathbb{R}, 2(cx_1)-(c y_1)=c(2x_1-y_1)=c\cdot 0=0,logo c\mathbf{u}\in A.
      Assim A é subespaço.
  • Para B:
    1. \mathbf{0}\in B porque 0+0=0.
    2. Se \mathbf{u},\mathbf{v}\in B então z_1+t_1=0 e z_2+t_2=0. Para a soma: (z_1+z_2)+(t_1+t_2)=(z_1+t_1)+(z_2+t_2)=0+0=0,logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in B.
    3. Para escalar c, c z_1 + c t_1 = c(z_1+t_1)=c\cdot 0 = 0,logo c\mathbf{u}\in B.
      Assim B é subespaço.
Resumo: A e B são subespaços de \mathbb{R}^4. Mas atenção: a união de subespaços (aqui A\cup B) nem sempre é subespaço.

Passo 5

Lema útil (explicado sem formalidade técnica): a união A\cup B de dois subespaços é subespaço somente se um dos subespaços estiver contido no outro, isto é, A\subset B ou B\subset A. Intuição rápida: se existe \mathbf{a}\in A\setminus B e \mathbf{b}\in B\setminus A, então a soma \mathbf{a}+\mathbf{b} pode sair da união (pois não precisa satisfazer nem a equação de A nem a de B). Então a união geralmente falha no fechamento por soma.
Vou aplicar essa ideia aqui: preciso verificar se um dos subespaços está contido no outro ou produzir um contraexemplo explícito mostrando que a soma de dois vetores em U pode deixar U.

Passo 6

Construção de um contraexemplo explícito (bem mastigado, passo-a-passo).
  • Vou escolher um vetor \mathbf{v}\in A que não pertença a B. Quero 2x-y=0 e z+t\neq 0. Um vetor simples é
    \mathbf{v}=(1,2,1,0).
    Verificação:
    2\cdot 1 - 2 = 0,
    então \mathbf{v}\in A. E
    z+t = 1+0 = 1 \neq 0,
    então \mathbf{v}\notin B.
  • Vou escolher um vetor \mathbf{w}\in B que não pertença a A. Quero z+t=0 e 2x-y\neq 0. Um vetor simples é
    \mathbf{w}=(1,0,-1,1).
    Verificação:
    z+t = -1+1 = 0,
    então \mathbf{w}\in B. E
    2\cdot 1 - 0 = 2 \neq 0,
    então \mathbf{w}\notin A.
Assim mostramos explicitamente que nem A\subset B nem B\subset A.
  • Agora calcule a soma \mathbf{v}+\mathbf{w}:
    \mathbf{v}+\mathbf{w}=(1+1,\;2+0,\;1+(-1),\;0+1)=(2,2,0,1).
    Verificações para a soma:
    • Primeira condição: 2x-y = 2\cdot 2 - 2 = 4-2 = 2 \neq 0.Portanto a soma não satisfaz 2x-y=0.
    • Segunda condição: z+t = 0 + 1 = 1 \neq 0.Portanto a soma também não satisfaz z+t=0.
Logo \mathbf{v}+\mathbf{w}\notin A e \mathbf{v}+\mathbf{w}\notin B; assim \mathbf{v}+\mathbf{w}\notin A\cup B=U.
Isto mostra que U não é fechado por soma.

Passo 7

Conclusão final e recado motivador.
  • Como U não é fechado por soma (encontrei \mathbf{v},\mathbf{w}\in U com \mathbf{v}+\mathbf{w}\notin U), concluímos que U não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.
Dica rápida para a prova: quando o conjunto é a união de condições “ou”, pense sempre em escrever como união de subespaços e testar fechamento por soma — normalmente a união falha, a não ser que uma condição implique a outra (isto é raro a menos que haja inclusão).
Força aí! Você conseguiu entender o porquê — isso vale muito mais do que decorar resposta.

Resposta

Um subespaço vetorial é um subconjunto W\subset\mathbb{R}^n que contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares (ou seja, se \mathbf{u},\mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W, e se c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}\in W então c\mathbf{u}\in W).
U não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

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