Questão 2.1
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
ou
a) Defina subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Definir o que é um subespaço vetorial.
- Determinar se o conjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas: o conjunto
é formado por todos os vetores em
que satisfazem pelo menos uma das duas equações lineares homogêneas
ou
.
Passo 2
Definição (passo-a-passo e didático). Vou explicar o que significa ser subespaço vetorial de um jeito bem prático:
- Um subconjunto
é um subespaço vetorial quando é fechado para as operações de soma e multiplicação por escalar e contém o vetor zero. Formalmente, uma forma prática de testar é verificar três propriedades: -
(onde é o vetor nulo). - Para quaisquer
, tem-se (fechamento por soma). - Para qualquer
e qualquer escalar , tem-se (fechamento por multiplicação por escalar).
-
Por que isso funciona? Porque um subespaço precisa ser um espaço vetorial por si só, então precisa satisfazer as mesmas propriedades de soma e escalar que
. Em exercícios, é suficiente verificar essas três propriedades (contar o zero, soma e escalar).
Passo 3
Interpretação de
como união de dois subconjuntos mais simples. Vou separar
em duas partes naturais:
- Defina
e
Então
(porque o enunciado usou “ou”).
Observação importante (didática): tanto
quanto
são conjuntos definidos por uma equação linear homogênea. Esses tipos de conjuntos costumam ser subespaços (hiperplanos que passam pela origem). Vou verificar isso para cada um.
Passo 4
Mostrando que
e
são subespaços (isto ajuda a entender a estrutura de
).
-
Para
: - O vetor zero
satisfaz , logo . - Se
e , então e . Para a soma: portanto . - Para escalar
, logo .
Assimé subespaço.
- O vetor zero
-
Para
: -
porque . - Se
então e . Para a soma: logo . - Para escalar
, logo .
Assimé subespaço.
-
Resumo:
e
são subespaços de
. Mas atenção: a união de subespaços (aqui
) nem sempre é subespaço.
Passo 5
Lema útil (explicado sem formalidade técnica): a união
de dois subespaços é subespaço somente se um dos subespaços estiver contido no outro, isto é,
ou
. Intuição rápida: se existe
e
, então a soma
pode sair da união (pois não precisa satisfazer nem a equação de
nem a de
). Então a união geralmente falha no fechamento por soma.
Vou aplicar essa ideia aqui: preciso verificar se um dos subespaços está contido no outro ou produzir um contraexemplo explícito mostrando que a soma de dois vetores em
pode deixar
.
Passo 6
Construção de um contraexemplo explícito (bem mastigado, passo-a-passo).
-
Vou escolher um vetor
que não pertença a . Quero e . Um vetor simples é Verificação:então. E então. -
Vou escolher um vetor
que não pertença a . Quero e . Um vetor simples é Verificação:então. E então.
Assim mostramos explicitamente que nem
nem
.
-
Agora calcule a soma
: Verificações para a soma:- Primeira condição:
Portanto a soma não satisfaz . - Segunda condição:
Portanto a soma também não satisfaz .
- Primeira condição:
Logo
e
; assim
.
Isto mostra que
não é fechado por soma.
Passo 7
Conclusão final e recado motivador.
- Como
não é fechado por soma (encontrei com ), concluímos que não é subespaço vetorial de .
Dica rápida para a prova: quando o conjunto é a união de condições “ou”, pense sempre em escrever como união de subespaços e testar fechamento por soma — normalmente a união falha, a não ser que uma condição implique a outra (isto é raro a menos que haja inclusão).
Força aí! Você conseguiu entender o porquê — isso vale muito mais do que decorar resposta.
Resposta
Um subespaço vetorial é um subconjunto
que contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares (ou seja, se
então
, e se
e
então
).
não é subespaço vetorial de
.