Questão 2.1
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
a) Defina subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) dar a definição de subespaço vetorial; (b) decidir se o conjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas:
A tarefa é aplicar a definição de subespaço a esse
e concluir se ele é ou não subespaço.
Passo 2
Definição (clara e prática) de subespaço vetorial:
Um subconjunto de um espaço vetorial
(aqui
) é um subespaço vetorial se e somente se as três propriedades abaixo são satisfeitas:
Um subconjunto
-
não é vazio; normalmente verificamos que o vetor nulo pertence a . - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Explicação breve do porquê: um subespaço precisa conter o zero (caso contrário não seria um espaço vetorial), e deve ser fechado sob as operações que definem espaço vetorial (soma e multiplicação por escalar). Essas três condições são necessárias e suficientes.
Exemplo rápido e intuitivo: a reta que passa pela origem em
é subespaço; uma reta que não passa pela origem não é (porque não contém o vetor zero).
Passo 3
Estratégia para conjuntos definidos por equações lineares homogêneas:
Se um conjunto é definido como solução de uma equação linear homogênea
Se um conjunto é definido como solução de uma equação linear homogênea
então esse conjunto costuma ser subespaço, porque a soma de duas soluções é solução (pela linearidade) e múltiplos escalares também são soluções. Vou usar essa ideia para
, que é exatamente o conjunto de soluções da equação homogênea
.
Passo 4
Verificação do vetor zero:
Calcule o lado esquerdo da equação para o vetor :
Calcule o lado esquerdo da equação para o vetor
Logo
. Assim a condição de não-vazio / conter o zero está satisfeita.
Passo 5
Fechamento por soma (passo a passo, sem pular etapas):
Sejam
Sejam
Pelo fato de
e
temos
e
Consideramos a soma
Agora verificamos a equação para
:
Pelo que sabemos acima cada parêntese é
, então a soma é
. Portanto
satisfaz a equação e logo
. Concluímos que
é fechado sob adição.
Passo 6
Fechamento por multiplicação escalar (passo a passo):
Seja e
. Como
sabemos
Seja
Considere
. Verificamos a equação:
Como
, o produto é
. Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 7
Conclusão e comentário geométrico:
Como contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, pelas condições do passo 2 concluímos que
é um subespaço de
.
Como
Interpretação geométrica extra (útil para a prova):
é o plano em
que passa pela origem e é ortogonal ao vetor normal
. Uma base conveniente de
pode ser obtida parametrizando a equação. Tomando
e
e resolvendo
obtemos
Os vetores
e
são linearmente independentes e geram
, portanto
. (Este trecho é só para ajudar a visualizar e pode ser útil em questões relacionadas.)
Resposta
Definição: Um subconjunto
é subespaço vetorial se contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares.
Sim.
é subespaço de
, pois
e
é fechado sob soma e multiplicação escalar (é o conjunto solução da equação linear homogênea
).