Questão 2.1
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-2 y+z=0\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) dar a definição de subespaço vetorial; (b) decidir se o conjunto
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y+z=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^3.
Informações dadas:
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y+z=0\}.
A tarefa é aplicar a definição de subespaço a esse T e concluir se ele é ou não subespaço.

Passo 2

Definição (clara e prática) de subespaço vetorial:
Um subconjunto W de um espaço vetorial V (aqui V=\mathbb{R}^3) é um subespaço vetorial se e somente se as três propriedades abaixo são satisfeitas:
  1. W não é vazio; normalmente verificamos que o vetor nulo (0,0,0) pertence a W.
  2. Fechamento por soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.
Explicação breve do porquê: um subespaço precisa conter o zero (caso contrário não seria um espaço vetorial), e deve ser fechado sob as operações que definem espaço vetorial (soma e multiplicação por escalar). Essas três condições são necessárias e suficientes.
Exemplo rápido e intuitivo: a reta que passa pela origem em \mathbb{R}^2 é subespaço; uma reta que não passa pela origem não é (porque não contém o vetor zero).

Passo 3

Estratégia para conjuntos definidos por equações lineares homogêneas:
Se um conjunto é definido como solução de uma equação linear homogênea
a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0,
então esse conjunto costuma ser subespaço, porque a soma de duas soluções é solução (pela linearidade) e múltiplos escalares também são soluções. Vou usar essa ideia para T, que é exatamente o conjunto de soluções da equação homogênea x-2y+z=0.

Passo 4

Verificação do vetor zero:
Calcule o lado esquerdo da equação para o vetor (0,0,0):
0 - 2\cdot 0 + 0 = 0.
Logo (0,0,0)\in T. Assim a condição de não-vazio / conter o zero está satisfeita.

Passo 5

Fechamento por soma (passo a passo, sem pular etapas):
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in T\quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in T.
Pelo fato de u\in T e v\in T temos
x_1 - 2y_1 + z_1 = 0
e
x_2 - 2y_2 + z_2 = 0.
Consideramos a soma
u+v = (x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Agora verificamos a equação para u+v:
(x_1+x_2) - 2(y_1+y_2) + (z_1+z_2) = (x_1 - 2y_1 + z_1) + (x_2 - 2y_2 + z_2).
Pelo que sabemos acima cada parêntese é 0, então a soma é 0+0=0. Portanto u+v satisfaz a equação e logo u+v\in T. Concluímos que T é fechado sob adição.

Passo 6

Fechamento por multiplicação escalar (passo a passo):
Seja u=(x,y,z)\in T e \alpha\in\mathbb{R}. Como u\in T sabemos
x - 2y + z = 0.
Considere \alpha u = (\alpha x,\; \alpha y,\; \alpha z). Verificamos a equação:
\alpha x - 2(\alpha y) + \alpha z = \alpha(x - 2y + z).
Como x-2y+z=0, o produto é \alpha\cdot 0 = 0. Logo \alpha u\in T. Assim T é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 7

Conclusão e comentário geométrico:
Como T contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, pelas condições do passo 2 concluímos que T é um subespaço de \mathbb{R}^3.
Interpretação geométrica extra (útil para a prova): T é o plano em \mathbb{R}^3 que passa pela origem e é ortogonal ao vetor normal (1,-2,1). Uma base conveniente de T pode ser obtida parametrizando a equação. Tomando y=s e z=t e resolvendo x=2s-t obtemos
(x,y,z) = s(2,1,0) + t(-1,0,1).
Os vetores (2,1,0) e (-1,0,1) são linearmente independentes e geram T, portanto \dim(T)=2. (Este trecho é só para ajudar a visualizar e pode ser útil em questões relacionadas.)

Resposta

Definição: Um subconjunto W\subset V é subespaço vetorial se contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares.
Sim. T é subespaço de \mathbb{R}^3, pois (0,0,0)\in T e T é fechado sob soma e multiplicação escalar (é o conjunto solução da equação linear homogênea x-2y+z=0).

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