Questão 7) Dê a definição e dois exemplos de:
Isótonos;
Isótonos;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o termo “Isótonos”: a definição e dois exemplos.
As informações fornecidas são apenas: quero a definição de “isótono” e dois exemplos concretos que ilustram a definição.
As informações fornecidas são apenas: quero a definição de “isótono” e dois exemplos concretos que ilustram a definição.
Passo 2
Antes de dar a definição, preciso explicar o contexto onde o termo vive: o conceito de conjunto parcialmente ordenado (poset). Vou fazer isso devagarinho.
Um conjunto parcialmente ordenado (poset) é um par
onde
é um conjunto e
é uma relação binária em
que satisfaz três propriedades:
Explicando em palavras: temos uma noção de “ordem” entre elementos (pode ser a ordem usual em
, a inclusão entre subconjuntos, etc.), e essa ordem obedece às três propriedades acima.
Passo 3
Agora a definição do que é um isótono (também chamado “aplicação isotona” ou “função ordenada/ordem-preservante”).
Definição formal:
Em palavras: uma função entre posets é isótona quando preserva a ordem — sempre que um elemento
está antes (ou igual) a
em
, então
está antes (ou igual) a
em
.
Observações didáticas rápidas:
- “Preservar a ordem” significa exatamente a implicação acima.
- O contrário (quando
implica ) chama-se ordem-reversora (ou antitona). - No caso dos números reais com a ordem usual, isótono = função monotona crescente (não necessariamente estrita).
Passo 4
Vamos ver um exemplo bem simples e verificar passo a passo por que é isótono.
Exemplo 1: função linear em
. Considere
onde ambos os conjuntos usam a ordem usual
.
Verificação:
- Tome quaisquer
tais que . - Multiplicando ambos os lados da desigualdade por
(lembrando que multiplicar por um número positivo conserva a desigualdade), obtemos . - Ou seja,
. Portanto é isótona.
Comentário prático: multiplicar por um número positivo preserva a ordem; multiplicar por número negativo reversaria a ordem (ex.:
não é isótona, é ordem-reversora).
Passo 5
Exemplo 2: função entre partes de um conjunto (ordem por inclusão). Seja
um conjunto fixo e considere o conjunto das partes
com a ordem por inclusão
. Defina
onde
é um elemento fixo.
Verificação:
- Tome quaisquer
com . - Então
porque todo elemento de está em , e ao juntar aos dois conjuntos continuamos tendo inclusão. - Portanto
, logo é isótona.
Comentário prático: operações que “adicionam” algo de forma uniforme (como união com um conjunto fixo) costumam preservar a inclusão; operações como complemento, por outro lado, geralmente invertem a ordem (são antitonas).
Passo 6
Resumo rápido para fixar: um isótono é uma função entre conjuntos ordenados que nunca inverte a ordem — sempre que
vem antes de
,
vem antes de
. Nos exemplos mostramos (1) uma função linear em
multiplicando por
, e (2) a união com um elemento fixo em
.
Resposta
Definição: Uma função
entre posets é \emph{isótona} se, para todos
,
Exemplo 1:
dada por
(ordem usual em
) — é isótona porque
.
Exemplo 2:
dada por
para
fixo (ordem por inclusão) — é isótona porque
.