Questão 7) Dê a definição e dois exemplos de:
Isótonos;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o termo “Isótonos”: a definição e dois exemplos.
As informações fornecidas são apenas: quero a definição de “isótono” e dois exemplos concretos que ilustram a definição.

Passo 2

Antes de dar a definição, preciso explicar o contexto onde o termo vive: o conceito de conjunto parcialmente ordenado (poset). Vou fazer isso devagarinho.
Um conjunto parcialmente ordenado (poset) é um par (P,\le_P) onde P é um conjunto e \le_P é uma relação binária em P que satisfaz três propriedades:
\begin{aligned} &\text{(reflexiva)}\quad &&\forall x\in P,\; x \le_P x,\\\ &\text{(antissimétrica)}\quad &&\forall x,y\in P,\; (x\le_P y \text{ e } y\le_P x)\Rightarrow x=y,\\\ &\text{(transitiva)}\quad &&\forall x,y,z\in P,\; (x\le_P y \text{ e } y\le_P z)\Rightarrow x\le_P z. \end{aligned}é
Explicando em palavras: temos uma noção de “ordem” entre elementos (pode ser a ordem usual em \mathbb{R}, a inclusão entre subconjuntos, etc.), e essa ordem obedece às três propriedades acima.

Passo 3

Agora a definição do que é um isótono (também chamado “aplicação isotona” ou “função ordenada/ordem-preservante”).
Definição formal:
\text{Dizemos que } f:(P,\le_P)\to(Q,\le_Q)\text{ é \emph{isótono} se, para todo }x,y\in P,éó
x\le_P y \\ \Longrightarrow\\ f(x)\le_Q f(y).
Em palavras: uma função entre posets é isótona quando preserva a ordem — sempre que um elemento x está antes (ou igual) a y em P, então f(x) está antes (ou igual) a f(y) em Q.
Observações didáticas rápidas:
  • “Preservar a ordem” significa exatamente a implicação acima.
  • O contrário (quando x\le y implica f(x)\ge f(y)) chama-se ordem-reversora (ou antitona).
  • No caso dos números reais com a ordem usual, isótono = função monotona crescente (não necessariamente estrita).

Passo 4

Vamos ver um exemplo bem simples e verificar passo a passo por que é isótono.
Exemplo 1: função linear em \mathbb{R}. Considere
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=2x,
onde ambos os conjuntos usam a ordem usual \le.
Verificação:
  • Tome quaisquer x,y\in\mathbb{R} tais que x\le y.
  • Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2>0 (lembrando que multiplicar por um número positivo conserva a desigualdade), obtemos 2x\le 2y.
  • Ou seja, f(x)\le f(y). Portanto f é isótona.
Comentário prático: multiplicar por um número positivo preserva a ordem; multiplicar por número negativo reversaria a ordem (ex.: g(x)=-x não é isótona, é ordem-reversora).

Passo 5

Exemplo 2: função entre partes de um conjunto (ordem por inclusão). Seja S um conjunto fixo e considere o conjunto das partes \mathcal{P}(S) com a ordem por inclusão \subseteq. Defina
f:\mathcal{P}(S)\to\mathcal{P}(S),\qquad f(A)=A\cup\{a\},
onde a\in S é um elemento fixo.
Verificação:
  • Tome quaisquer A,B\in\mathcal{P}(S) com A\subseteq B.
  • Então A\cup\{a\}\subseteq B\cup\{a\} porque todo elemento de A está em B, e ao juntar \{a\} aos dois conjuntos continuamos tendo inclusão.
  • Portanto f(A)\subseteq f(B), logo f é isótona.
Comentário prático: operações que “adicionam” algo de forma uniforme (como união com um conjunto fixo) costumam preservar a inclusão; operações como complemento, por outro lado, geralmente invertem a ordem (são antitonas).

Passo 6

Resumo rápido para fixar: um isótono é uma função entre conjuntos ordenados que nunca inverte a ordem — sempre que x vem antes de y, f(x) vem antes de f(y). Nos exemplos mostramos (1) uma função linear em \mathbb{R} multiplicando por 2, e (2) a união com um elemento fixo em \mathcal{P}(S).

Resposta

Definição: Uma função f:(P,\le_P)\to(Q,\le_Q) entre posets é \emph{isótona} se, para todos x,y\in P,
x\le_P y \\ \Longrightarrow\\ f(x)\le_Q f(y).
Exemplo 1: f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=2x (ordem usual em \mathbb{R}) — é isótona porque x\le y\Rightarrow 2x\le 2y.
Exemplo 2: f:\mathcal{P}(S)\to\mathcal{P}(S) dada por f(A)=A\cup\{a\} para a\in S fixo (ordem por inclusão) — é isótona porque A\subseteq B\Rightarrow A\cup\{a\}\subseteq B\cup\{a\}.

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