5^ a Questão - (a) Demonstre que a distância focal eficaz fe^prime de um sistema de lente e espelho, em que ambos estão em contato, é dada por : 1 / fe^prime=2 / f^prime+2 / R, onde f^prime é a distância focal da lente e R o raio de curvatura do espelho. (b) A que distância do conjunto a imagem formada coincide com a posição do objeto?

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar que, para um sistema formado por uma lente delgada de distância focal ,f', em contato com um espelho esférico de raio de curvatura R, a distância focal eficaz fe' satisfaz
1fe'=2f'+2R,
e (b) determinar a que distância do conjunto a imagem coincide com o objeto. O conteúdo envolvido é cálculo de potência (dioptria) de lentes e de espelhos esféricos e a fórmula de Gauss para sistemas em contato.

Passo 2

Uma lente delgada tem potência (dioptria) phiell=1/f'. Um espelho esférico côncavo obedece à equação de Gauss por reflexão
1v+1u=2R,
o que define sua distância focal fm tal que 1/fm=2/R. Logo a potência do espelho é
phim=1fm=2R

Passo 3

Como a lente e o espelho estão em contato e, além disso, a luz atravessa a lente antes de chegar ao espelho e volta a atravessá-la depois da reflexão, a potência total do sistema é a soma das potências em cada passagem:
phirm total =phiell+phim+phiell =1f'+2R+1f' =2f'+2R
Dessa forma, a distância focal eficaz fe' do conjunto satisfaz
1fe'=phirm total =2f'+2R

Passo 4

Para que a imagem final coincida com o objeto, basta usar a fórmula de Gauss do sistema equivalente,
1p+1q=1fe',
e exigir q=p. Isso dá
1p+1p=1fe' Longrightarrow 2p=1fe' Longrightarrow p=2,fe'
Substituindo fe'=1/(,2/f'+2/R) obtém-se
p=2,12f'+2R =11f'+1R =f',Rf'+R

Resposta

(a) 1fe'=2f'+2R
(b) A imagem coincide com o objeto quando este está colocado à distância
p=2,fe'=11f'+1R=f',Rf'+R
do conjunto lente + espelho.

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