Questão 3. Demonstre as seguintes afirmações:
Se U e W são subespaços de V, então U \cup W não é subespaço de V.

Passo 1

O enunciado dá que U e W são subespaços de um mesmo espaço vetorial V e pede para demonstrar que U\cup W não é (em geral) subespaço de V.
Informações relevantes dadas:
  • U é subespaço de V.
  • W é subespaço de V.
    O que precisa ser mostrado:
  • Mostrar que, em geral, a união U\cup W não satisfaz as condições para ser subespaço de V.
    (Observação: não se pede apenas um contraexemplo; uma demonstração geral será dada e também será explicado quando a união é, de fato, subespaço.)

Passo 2

Definição útil (explicada passo a passo). Para que um subconjunto S\subseteq V seja subespaço de V é necessário e suficiente que:
  1. S não seja vazio (tipicamente isso é garantido porque todo subespaço contém o vetor nulo).
  2. S seja fechado sob soma: se x,y\in S então x+y\in S.
  3. S seja fechado sob multiplicação escalar: se x\in S e \alpha é escalar então \alpha x\in S.
Explicando em miúdos: é preciso que todo par de vetores do conjunto some para um vetor que também esteja no conjunto, e que multiplicar qualquer vetor por qualquer escalar também dê um vetor do conjunto. Se uma dessas propriedades falha, o conjunto não é subespaço.

Passo 3

Contraexemplo concreto (para ver a falha de forma simples). Considere V=\mathbb{R}^2, e defina
U=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\quad\text{e}\quad W=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
  • Mostre que U é subespaço: contém (0,0), fechado sob soma e multiplicação escalar (soma e escala de vetores da forma (x,0) permanecem na forma (\ast,0)). Mesma coisa para W.
  • Observe que (1,0)\in U e (0,1)\in W. Ambos pertencem à união U\cup W.
  • Mas a soma desses dois vetores é
(1,0)+(0,1)=(1,1),
e (1,1)\notin U e (1,1)\notin W, logo (1,1)\notin U\cup W.
Portanto U\cup W não é fechado sob soma, e assim não é subespaço de \mathbb{R}^2. Conclusão: em geral a união de dois subespaços não é subespaço.

Passo 4

Prova geral da afirmação (razão da falha). Suponha que nem U\subseteq W nem W\subseteq U. Então existem vetores
u\in U\setminus W\quad\text{e}\quad w\in W\setminus U.
Considere o vetor u+w. Se U\cup W fosse subespaço, então ele seria fechado sob soma e portanto u+w\in U\cup W. Há duas possibilidades:
  • Se u+w\in U, então, como U é subespaço, a diferença (u+w)-u=w também estaria em U. Mas isso contradiz a escolha de w\in W\setminus U.
  • Se u+w\in W, então, como W é subespaço, a diferença (u+w)-w=u também estaria em W. Mas isso contradiz a escolha de u\in U\setminus W.
As duas possibilidades levam a contradição. Logo a hipótese de que U\cup W é subespaço é impossível quando nenhum dos subespaços está contido no outro. Portanto, se nem U\subseteq W nem W\subseteq U, então U\cup W não é subespaço.

Passo 5

Caso em que a união é subespaço (condição necessária e suficiente). Mostraremos que U\cup W é subespaço se e somente se U\subseteq W ou W\subseteq U.
  • Se U\subseteq W, então U\cup W=W, que é subespaço (já que W é). Caso análogo se W\subseteq U.
  • Pelo passo anterior, se não houver inclusão entre U e W então U\cup W não é subespaço. Assim a condição é também necessária.
Portanto a caracterização completa é: U\cup W é subespaço se, e somente se, um dos subespaços está contido no outro.

Passo 6

Resumo final, em linguagem direta e incentivadora: a união de dois subespaços normalmente quebra a propriedade de fechamento sob soma — como vimos com o exemplo dos eixos em \mathbb{R}^2 — e por isso U\cup W não é subespaço na maioria dos casos. O único caso em que a união funciona é quando um subespaço já está inteiro dentro do outro, aí a união coincide com o maior e é subespaço.

Resposta

Em geral U\cup W não é subespaço de V. Mais precisamente, U\cup W é subespaço de V se, e somente se, U\subseteq W ou W\subseteq U.

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