Questão 3. Demonstre as seguintes afirmações:
Se
e
são subespaços de
, então
não é subespaço de
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subespaços de um mesmo espaço vetorial
e pede para demonstrar que
não é (em geral) subespaço de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é subespaço de . -
é subespaço de .
O que precisa ser mostrado: - Mostrar que, em geral, a união
não satisfaz as condições para ser subespaço de .
(Observação: não se pede apenas um contraexemplo; uma demonstração geral será dada e também será explicado quando a união é, de fato, subespaço.)
Passo 2
Definição útil (explicada passo a passo). Para que um subconjunto
seja subespaço de
é necessário e suficiente que:
-
não seja vazio (tipicamente isso é garantido porque todo subespaço contém o vetor nulo). -
seja fechado sob soma: se então . -
seja fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar então .
Explicando em miúdos: é preciso que todo par de vetores do conjunto some para um vetor que também esteja no conjunto, e que multiplicar qualquer vetor por qualquer escalar também dê um vetor do conjunto. Se uma dessas propriedades falha, o conjunto não é subespaço.
Passo 3
Contraexemplo concreto (para ver a falha de forma simples). Considere
, e defina
- Mostre que
é subespaço: contém , fechado sob soma e multiplicação escalar (soma e escala de vetores da forma permanecem na forma ). Mesma coisa para . - Observe que
e . Ambos pertencem à união . - Mas a soma desses dois vetores é
e
e
, logo
.
Portanto não é fechado sob soma, e assim não é subespaço de
. Conclusão: em geral a união de dois subespaços não é subespaço.
Portanto
Passo 4
Prova geral da afirmação (razão da falha). Suponha que nem
nem
. Então existem vetores
Considere o vetor
. Se
fosse subespaço, então ele seria fechado sob soma e portanto
. Há duas possibilidades:
-
Se
, então, como é subespaço, a diferença também estaria em . Mas isso contradiz a escolha de . -
Se
, então, como é subespaço, a diferença também estaria em . Mas isso contradiz a escolha de .
As duas possibilidades levam a contradição. Logo a hipótese de que
é subespaço é impossível quando nenhum dos subespaços está contido no outro. Portanto, se nem
nem
, então
não é subespaço.
Passo 5
Caso em que a união é subespaço (condição necessária e suficiente). Mostraremos que
é subespaço se e somente se
ou
.
-
Se
, então , que é subespaço (já que é). Caso análogo se . -
Pelo passo anterior, se não houver inclusão entre
e então não é subespaço. Assim a condição é também necessária.
Portanto a caracterização completa é:
é subespaço se, e somente se, um dos subespaços está contido no outro.
Passo 6
Resumo final, em linguagem direta e incentivadora: a união de dois subespaços normalmente quebra a propriedade de fechamento sob soma — como vimos com o exemplo dos eixos em
— e por isso
não é subespaço na maioria dos casos. O único caso em que a união funciona é quando um subespaço já está inteiro dentro do outro, aí a união coincide com o maior e é subespaço.
Resposta
Em geral
não é subespaço de
. Mais precisamente,
é subespaço de
se, e somente se,
ou
.