Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=M_{n}(\mathbb{R}) e W=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \mid a_{i j}=0\right., se \left.i \neq j\right\} (Matrizes diagonais)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O espaço vetorial ambiente é V=M_{n}(\mathbb{R}), ou seja, o conjunto de todas as matrizes reais de ordem n\times n.
  • O subconjunto W é dado por
W=\{A=(a_{ij})\in M_{n}(\mathbb{R}) \mid a_{ij}=0\\ \text{se}\\ i\neq j\}.
Aqui i e j variam por 1\le i,j\le n. Em palavras: W é o conjunto das matrizes diagonais (apenas entradas na diagonal principal podem ser não nulas; fora da diagonal os elementos são zero).
O que o enunciado pede:
  • Decidir se W é um subespaço vetorial de V.
  • Se for subespaço: demonstrar. Se não for: indicar qual axioma falha.

Passo 2

Lembrando a definição prática de subespaço (vou explicar bem devagar para você poder aplicar na prova).
Um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial de V se, e somente se, satisfaz três propriedades fáceis de verificar:
  1. W não é vazio; tipicamente verifica-se que o vetor zero de V está em W.
  2. Fechamento por soma: para quaisquer A,B\in W, a soma A+B também pertence a W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e qualquer A\in W, o produto cA pertence a W.
Observação didática: se essas três propriedades valem, então automaticamente valem outros axiomas como existência de inverso aditivo (pois -1\cdot A\in W dá o inverso) e as propriedades herdadas da estrutura de V. Essas três são suficientes e fáceis de checar na prova.

Passo 3

Verificar que o zero está em W.
  • O elemento zero de V é a matriz nula 0 cuja entrada (i,j) é 0 para todos i,j.
  • Para todo i\neq j a entrada do zero é 0, logo satisfaz a condição de W.
    Portanto 0\in W. Isso garante que W não é vazio (propriedade 1).

Passo 4

Verificar fechamento por soma: se A,B\in W então A+B\in W.
  • Escreva A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) com 1\le i,j\le n.
  • Por hipótese, para todo i\neq j vale a_{ij}=0 e b_{ij}=0.
  • A matriz soma A+B tem entradas (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij} para todo i,j.
  • Se i\neq j então (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=0+0=0.
  • Logo todas as entradas fora da diagonal principal de A+B são zero, isto é, A+B\in W.
Assim a propriedade 2 (fechamento por soma) vale.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar: se A\in W e c\in\mathbb{R} então cA\in W.
  • Tome A=(a_{ij})\in W e c\in\mathbb{R}.
  • As entradas de cA são (cA)_{ij}=c\cdot a_{ij}.
  • Se i\neq j então a_{ij}=0 (porque A\in W), portanto (cA)_{ij}=c\cdot 0=0.
  • Logo cA também tem todas as entradas fora da diagonal iguais a zero, ou seja, cA\in W.
Assim a propriedade 3 (fechamento por multiplicação escalar) vale.

Passo 6

Observações extras e exemplo didático (pra fixar):
  • A verificação do inverso aditivo: para A\in W tem-se -A=(-1)A\in W pela propriedade de fechamento por escalar com c=-1. Então todo A\in W tem seu inverso aditivo em W.
  • Exemplo concreto: em M_{3}(\mathbb{R}), as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 2 & 0\\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 4\end{pmatrix}
são elementos de W. A soma
A+B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 5 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix}
e qualquer múltiplo escalar 2A têm também zeros fora da diagonal, então pertencem a W. Isso ilustra as propriedades que demonstramos de forma geral.]

Passo 7

Conclusão lógica final do raciocínio:
  • Verificamos as três propriedades necessárias: 0\in W, fechamento por soma e fechamento por multiplicação escalar.
  • Portanto W é um subespaço vetorial de V=M_{n}(\mathbb{R}).

Resposta

W é subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).

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