Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço. V=M_{n}(\mathbb{R}) e W=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \mid a_{i j}=0\right., se \left.i \neq j\right\} (Matrizes diagonais)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
O espaço vetorial ambiente é V=M_{n}(\mathbb{R}), ou seja, o conjunto de todas as matrizes reais de ordem n\times n.
Aqui i e j variam por 1\le i,j\le n. Em palavras: W é o conjunto das matrizes diagonais (apenas entradas na diagonal principal podem ser não nulas; fora da diagonal os elementos são zero).
O que o enunciado pede:
Decidir se W é um subespaço vetorial de V.
Se for subespaço: demonstrar. Se não for: indicar qual axioma falha.
Passo 2
Lembrando a definição prática de subespaço (vou explicar bem devagar para você poder aplicar na prova).
Um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial de V se, e somente se, satisfaz três propriedades fáceis de verificar:
W não é vazio; tipicamente verifica-se que o vetor zero de V está em W.
Fechamento por soma: para quaisquer A,B\in W, a soma A+B também pertence a W.
Fechamento por multiplicação escalar: para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e qualquer A\in W, o produto cA pertence a W.
Observação didática: se essas três propriedades valem, então automaticamente valem outros axiomas como existência de inverso aditivo (pois -1\cdot A\in W dá o inverso) e as propriedades herdadas da estrutura de V. Essas três são suficientes e fáceis de checar na prova.
Passo 3
Verificar que o zero está em W.
O elemento zero de V é a matriz nula 0 cuja entrada (i,j) é 0 para todos i,j.
Para todo i\neq j a entrada do zero é 0, logo satisfaz a condição de W.
Portanto 0\in W. Isso garante que W não é vazio (propriedade 1).
Passo 4
Verificar fechamento por soma: se A,B\in W então A+B\in W.
Escreva A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) com 1\le i,j\le n.
Por hipótese, para todo i\neq j vale a_{ij}=0 e b_{ij}=0.
A matriz soma A+B tem entradas (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij} para todo i,j.
Se i\neq j então (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=0+0=0.
Logo todas as entradas fora da diagonal principal de A+B são zero, isto é, A+B\in W.
Assim a propriedade 2 (fechamento por soma) vale.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar: se A\in W e c\in\mathbb{R} então cA\in W.
Tome A=(a_{ij})\in W e c\in\mathbb{R}.
As entradas de cA são (cA)_{ij}=c\cdot a_{ij}.
Se i\neq j então a_{ij}=0 (porque A\in W), portanto (cA)_{ij}=c\cdot 0=0.
Logo cA também tem todas as entradas fora da diagonal iguais a zero, ou seja, cA\in W.
Assim a propriedade 3 (fechamento por multiplicação escalar) vale.
Passo 6
Observações extras e exemplo didático (pra fixar):
A verificação do inverso aditivo: para A\in W tem-se -A=(-1)A\in W pela propriedade de fechamento por escalar com c=-1. Então todo A\in W tem seu inverso aditivo em W.
Exemplo concreto: em M_{3}(\mathbb{R}), as matrizes