Questão 3. Demonstre as seguintes afirmações:
Se V é espaço vetorial e \alpha \in \mathbb{R}, v \in V então \alpha v=0 se, e somente se, \alpha=0 ou v=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Dado: V é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.
  • Dado: \alpha\in\mathbb{R} e v\in V.
  • Pedido: demonstrar que \alpha v = 0 \quad\text{se, e somente se,}\quad \alpha=0 \\ \text{ou}\\ v=0.
Ou seja, temos que provar duas implicações:
  1. Se \alpha v=0 então \alpha=0 ou v=0.
  2. Se \alpha=0 ou v=0 então \alpha v=0.
Além disso, vamos usar fatos básicos dos axiomas de espaço vetorial (existência de vetor nulo 0\in V, existência de inverso aditivo, distributividade da multiplicação escalar, propriedade 1v=v, e que escalares não nulos em \mathbb{R} têm inverso multiplicativo).

Passo 2

Provar um lema útil (fato padrão): para todo escalar \beta\in\mathbb{R} vale
\beta 0 = 0,
onde 0 é o vetor nulo de V.
Demonstração do lema, passo a passo:
  • Use a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a soma de vetores: \beta(0+0)=\beta 0 + \beta 0.
  • Mas 0+0=0, então o lado esquerdo é \beta 0. Logo \beta 0 = \beta 0 + \beta 0.
  • Agora subtrai-se (ou melhor: soma-se o inverso aditivo de \beta 0) dos dois lados. O espaço vetorial garante que todo vetor tem inverso aditivo; denotando por -(\beta 0) esse inverso, obtemos \beta 0 + \bigl(-(\beta 0)\bigr) = \bigl(\beta 0 + \beta 0\bigr) + \bigl(-(\beta 0)\bigr).
  • O lado esquerdo é 0. No lado direito, pela associatividade e porque x+(-x)=0, ficamos com \beta 0. Portanto 0 = \beta 0.
Assim o lema está provado: \beta 0 = 0 para todo \beta\in\mathbb{R}.

Passo 3

Provar a implicação fácil (direção “se”): mostrar que se \alpha=0 ou v=0 então \alpha v=0.
  • Se \alpha=0 então, aplicando o lema com \beta=0, temos \alpha v = 0\cdot v = 0.(Aqui usamos que 0\cdot v é o mesmo que \beta 0 com troca de papéis das propriedades, ou simplesmente aplicamos a propriedade distributiva: 0\cdot v=(0+0)\cdot v=0\cdot v+0\cdot v e o mesmo raciocínio do lema dá 0\cdot v=0.)
  • Se v=0 então, por linearidade da multiplicação escalar, \alpha v = \alpha 0 = 0,porque já provamos que qualquer escalar vezes o vetor nulo dá o vetor nulo.
Portanto, em ambos os casos \alpha v=0. Esta direção está concluída.

Passo 4

Provar a implicação mais interessante (direção “somente se”): mostrar que se \alpha v = 0 então \alpha=0 ou v=0.
Estratégia: assumir que \alpha v=0 e que \alpha\neq 0, e provar que disso segue v=0. Como \mathbb{R} é um corpo, qualquer \alpha\neq 0 tem inverso multiplicativo \alpha^{-1}. Vamos usar essa inversa.
Passos detalhados:
  • Comece com a hipótese \alpha v = 0.
  • Multiplique ambos os lados da igualdade pelo escalar \alpha^{-1}. Pela compatibilidade da multiplicação escalar com o produto de escalares (axioma: (\beta\gamma)v=\beta(\gamma v)), obtemos \alpha^{-1}(\alpha v) = \alpha^{-1}\cdot 0.
  • No lado esquerdo, use associatividade escalar: \alpha^{-1}(\alpha v) = (\alpha^{-1}\alpha) v = 1\cdot v = v.
  • No lado direito, pelo lema do Passo 2 (aplicado com \beta=\alpha^{-1}) sabemos que \alpha^{-1}\cdot 0 = 0.
  • Portanto juntando, obtemos v = 0.
Assim mostramos que, se \alpha v=0 e \alpha\neq 0, então necessariamente v=0. Equivalentemente, se \alpha v=0 então \alpha=0 ou v=0. Essa é exatamente a direção “somente se” que queríamos.

Passo 5

Conclusão final e comentário didático rápido:
  • Já provamos as duas direções:
    • Se \alpha=0 ou v=0 então \alpha v=0.
    • Se \alpha v=0 então \alpha=0 ou v=0.
  • A ideia essencial usada é simples e muito útil em provas: se o escalar for não nulo podemos “cancelar” multiplicando pelo inverso, porque \mathbb{R} é um corpo. Se o escalar for zero, a igualdade \alpha v=0 é óbvia. Também foi importante o fato de que qualquer escalar vezes o vetor nulo é o vetor nulo (lema do Passo 2).
Força aí — essa propriedade é um dos brinquedinhos básicos de espaços vetoriais e cai muito em prova.

Resposta

Se \alpha v=0 então \alpha=0 ou v=0.
Se \alpha=0 ou v=0 então \alpha v=0.

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