Questão 3. Demonstre as seguintes afirmações:
Se
é espaço vetorial e
então
se, e somente se,
ou
.
Se
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Dado:
é um espaço vetorial sobre o corpo . - Dado:
e . - Pedido: demonstrar que
Ou seja, temos que provar duas implicações:
- Se
então ou . - Se
ou então .
Além disso, vamos usar fatos básicos dos axiomas de espaço vetorial (existência de vetor nulo
, existência de inverso aditivo, distributividade da multiplicação escalar, propriedade
, e que escalares não nulos em
têm inverso multiplicativo).
Passo 2
Provar um lema útil (fato padrão): para todo escalar
vale
onde
é o vetor nulo de
.
Demonstração do lema, passo a passo:
- Use a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a soma de vetores:
- Mas
, então o lado esquerdo é . Logo - Agora subtrai-se (ou melhor: soma-se o inverso aditivo de
) dos dois lados. O espaço vetorial garante que todo vetor tem inverso aditivo; denotando por esse inverso, obtemos - O lado esquerdo é
. No lado direito, pela associatividade e porque , ficamos com . Portanto
Assim o lema está provado:
para todo
.
Passo 3
Provar a implicação fácil (direção “se”): mostrar que se
ou
então
.
- Se
então, aplicando o lema com , temos (Aqui usamos que é o mesmo que com troca de papéis das propriedades, ou simplesmente aplicamos a propriedade distributiva: e o mesmo raciocínio do lema dá .) - Se
então, por linearidade da multiplicação escalar, porque já provamos que qualquer escalar vezes o vetor nulo dá o vetor nulo.
Portanto, em ambos os casos
. Esta direção está concluída.
Passo 4
Provar a implicação mais interessante (direção “somente se”): mostrar que se
então
ou
.
Estratégia: assumir que
e que
, e provar que disso segue
. Como
é um corpo, qualquer
tem inverso multiplicativo
. Vamos usar essa inversa.
Passos detalhados:
- Comece com a hipótese
- Multiplique ambos os lados da igualdade pelo escalar
. Pela compatibilidade da multiplicação escalar com o produto de escalares (axioma: ), obtemos - No lado esquerdo, use associatividade escalar:
- No lado direito, pelo lema do Passo 2 (aplicado com
) sabemos que - Portanto juntando, obtemos
Assim mostramos que, se
e
, então necessariamente
. Equivalentemente, se
então
ou
. Essa é exatamente a direção “somente se” que queríamos.
Passo 5
Conclusão final e comentário didático rápido:
- Já provamos as duas direções:
- Se
ou então . - Se
então ou .
- Se
- A ideia essencial usada é simples e muito útil em provas: se o escalar for não nulo podemos “cancelar” multiplicando pelo inverso, porque
é um corpo. Se o escalar for zero, a igualdade é óbvia. Também foi importante o fato de que qualquer escalar vezes o vetor nulo é o vetor nulo (lema do Passo 2).
Força aí — essa propriedade é um dos brinquedinhos básicos de espaços vetoriais e cai muito em prova.
Resposta
Se
então
ou
.
Se ou
então
.
Se