Questão 3. Demonstre, usando a definição de derivada, que se f e g são deriváveis em a, então (f \cdot g) também é derivável em a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informação 1: f é derivável em a. Ou seja, existe o número f'(a) definido por uma certa limite.
  • Informação 2: g é derivável em a. Ou seja, existe o número g'(a).
  • O que se pede: demonstrar que o produto f\cdot g é derivável em a e obter a fórmula do seu derivado em a.
Essas são todas as informações: f'(a) e g'(a) existem. A tarefa é provar (usando a definição de derivada) que a derivada de f\cdot g em a existe e encontrar seu valor.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada que vamos usar e explicar os símbolos.
  • Definição: dizer que f é derivável em a significa que o seguinte limite existe (é finito):
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Aqui x é a variável que tende para a. O quociente \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} é a diferença incremental de f e, quando o limite existe, esse limite é a derivada f'(a).
  • Objetivo em termos de limite: devemos mostrar que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}
existe. Se existir, esse limite será (f\cdot g)'(a).
Também é útil saber e usar leis básicas de limites: soma de limites e produto de limites funcionam quando os limites individuais existem. Vou usar isso explicitamente.

Passo 3

Primeiro fato técnico que vamos usar: "derivável em a implica contínua em a". Vou provar isso rapidamente porque é importante para poder substituir f(x) por f(a) quando x\to a.
  • Prova de continuidade a partir da derivabilidade (para f; o mesmo vale para g): como f é derivável em a, f'(a) existe. Observe que
f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a).
Tomando limite quando x\to a,
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-f(a)\bigr)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot\lim_{x\to a}(x-a).
Aqui usei a regra do produto de limites; o primeiro limite é f'(a) (existe por hipótese) e o segundo é 0. Logo o produto é f'(a)\cdot 0=0. Assim
\lim_{x\to a}f(x)-f(a)=0\quad\Rightarrow\quad\lim_{x\to a}f(x)=f(a),
ou seja, f é contínua em a. O mesmo argumento aplica-se a g.
Conclusão intermediária: tanto \lim_{x\to a}f(x)=f(a) quanto \lim_{x\to a}g(x)=g(a).

Passo 4

Agora escrevo a diferença incremental do produto e faço uma manipulação algébrica que é o ponto-chave da prova:
\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}.
Faço a seguinte reescrita (adicionando e subtraindo f(x)g(a)):
f(x)g(x)-f(a)g(a)=f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a).
Agrupando:
f(x)g(x)-f(a)g(a)=f(x)\bigl(g(x)-g(a)\bigr)+g(a)\bigl(f(x)-f(a)\bigr).
Dividindo por x-a obtemos
\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a} = f(x)\cdot\frac{g(x)-g(a)}{x-a} + g(a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Essa identidade algébrica é óbvia por distribuição, mas é importante porque separa a expressão em duas partes que podemos controlar com os limites que conhecemos.

Passo 5

Agora vamos passar ao limite quando x\to a da igualdade do Passo 4. Temos uma soma de duas parcelas; usaremos a linearidade de limites (ou seja, o limite da soma é a soma dos limites, quando ambos existem) e o produto de limites.
Tomamos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a} = \lim_{x\to a}\left[f(x)\cdot\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right] + \lim_{x\to a}\left[g(a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right],
desde que os limites à direita existam (vamos ver que existem).

Passo 6

Avalio cada limite separadamente.
  1. Para a primeira parcela:
\lim_{x\to a} f(x)\cdot\frac{g(x)-g(a)}{x-a}.
Como f é contínua em a (Passo 3), \lim_{x\to a}f(x)=f(a). Como g é derivável em a, \lim_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}=g'(a). Aplicando a regra do produto de limites (os dois limites existem e são finitos), obtemos
\lim_{x\to a} f(x)\cdot\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=f(a)\cdot g'(a).
  1. Para a segunda parcela:
\lim_{x\to a} g(a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Aqui g(a) é apenas uma constante (não depende de x), e \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} tende a f'(a) por hipótese. Logo
\lim_{x\to a} g(a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=g(a)\cdot f'(a).

Passo 7

Somando os resultados das duas parcelas, obtemos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a} = f(a)g'(a) + g(a)f'(a).
Como esse limite existe (é a soma de dois números finitos), concluímos que f\cdot g é derivável em a e que o valor da derivada é
(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).

Passo 8

Exemplo concreto para fixar a ideia (apenas para treinar): tome f(x)=x^2 e g(x)=\sin x em a=0.
  • f'(x)=2x então f'(0)=0. g'(x)=\cos x então g'(0)=1.
    Pela fórmula:
(fg)'(0)=f'(0)g(0)+f(0)g'(0)=0\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Podemos checar diretamente: (fg)(x)=x^2\sin x e \dfrac{(x^2\sin x)-0}{x-0}=x\sin x. O limite de x\sin x quando x\to 0 é 0. Confere com a fórmula.

Resposta

(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)

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