Questão 3. Demonstre, usando a definição de derivada, que se
e
são deriváveis em
, então
também é derivável em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Informação 1:
é derivável em . Ou seja, existe o número definido por uma certa limite. - Informação 2:
é derivável em . Ou seja, existe o número . - O que se pede: demonstrar que o produto
é derivável em e obter a fórmula do seu derivado em .
Essas são todas as informações:
e
existem. A tarefa é provar (usando a definição de derivada) que a derivada de
em
existe e encontrar seu valor.
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada que vamos usar e explicar os símbolos.
- Definição: dizer que
é derivável em significa que o seguinte limite existe (é finito):
Aqui
é a variável que tende para
. O quociente
é a diferença incremental de
e, quando o limite existe, esse limite é a derivada
.
- Objetivo em termos de limite: devemos mostrar que
existe. Se existir, esse limite será
.
Também é útil saber e usar leis básicas de limites: soma de limites e produto de limites funcionam quando os limites individuais existem. Vou usar isso explicitamente.
Passo 3
Primeiro fato técnico que vamos usar: "derivável em
implica contínua em
". Vou provar isso rapidamente porque é importante para poder substituir
por
quando
.
- Prova de continuidade a partir da derivabilidade (para
; o mesmo vale para ): como é derivável em , existe. Observe que
Tomando limite quando
,
Aqui usei a regra do produto de limites; o primeiro limite é
(existe por hipótese) e o segundo é
. Logo o produto é
. Assim
ou seja,
é contínua em
. O mesmo argumento aplica-se a
.
Conclusão intermediária: tanto
quanto
.
Passo 4
Agora escrevo a diferença incremental do produto e faço uma manipulação algébrica que é o ponto-chave da prova:
Faço a seguinte reescrita (adicionando e subtraindo
):
Agrupando:
Dividindo por
obtemos
Essa identidade algébrica é óbvia por distribuição, mas é importante porque separa a expressão em duas partes que podemos controlar com os limites que conhecemos.
Passo 5
Agora vamos passar ao limite quando
da igualdade do Passo 4. Temos uma soma de duas parcelas; usaremos a linearidade de limites (ou seja, o limite da soma é a soma dos limites, quando ambos existem) e o produto de limites.
Tomamos
desde que os limites à direita existam (vamos ver que existem).
Passo 6
Avalio cada limite separadamente.
- Para a primeira parcela:
Como
é contínua em
(Passo 3),
. Como
é derivável em
,
. Aplicando a regra do produto de limites (os dois limites existem e são finitos), obtemos
- Para a segunda parcela:
Aqui
é apenas uma constante (não depende de
), e
tende a
por hipótese. Logo
Passo 7
Somando os resultados das duas parcelas, obtemos
Como esse limite existe (é a soma de dois números finitos), concluímos que
é derivável em
e que o valor da derivada é
Passo 8
Exemplo concreto para fixar a ideia (apenas para treinar): tome
e
em
.
-
então . então .
Pela fórmula:
Podemos checar diretamente:
e
. O limite de
quando
é
. Confere com a fórmula.