\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(1+\cos x)^{\frac{3}{\cos x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \bigl(1+\cos x\bigr)^{\frac{3}{\cos x}}.
Informações úteis que já estão no enunciado ou que podemos calcular diretamente:
  • \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Portanto a base tende a
1+\cos x \longrightarrow 1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}
quando x\to \dfrac{\pi}{4}.
  • E o expoente tende a
\dfrac{3}{\cos x}\longrightarrow \dfrac{3}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2}
quando x\to \dfrac{\pi}{4}.
O que se pede: calcular o valor do limite acima.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos uma expressão da forma \bigl(a(x)\bigr)^{b(x)} e a(x)\to a>0, b(x)\to b\in\mathbb{R}, podemos passar para o logaritmo e usar a continuidade das funções envolvidas. Vou explicar isso com calma.
Explicação didática da técnica:
  • Para qualquer u>0 e qualquer v\in\mathbb{R} vale a identidade
u^{v} = \exp\bigl(v\ln u\bigr),
onde \ln é o logaritmo natural e \exp é a função exponencial.
  • A função \ln(u) é contínua em u>0. A função \exp(t) é contínua para todo t\in\mathbb{R}.
  • Se a(x)\to a>0 e b(x)\to b, então b(x)\ln(a(x))\to b\ln a (produto de limites), e pela continuidade de \exp tem-se
\lim_{x\to x_0} a(x)^{b(x)} = \exp\bigl(\lim_{x\to x_0} b(x)\ln(a(x))\bigr) = a^{b}.
Essa é a justificação rigorosa para substituir limites dentro da potência quando a base tende a número positivo e o expoente tende a um número finito.

Passo 3

Aplicando a técnica ao problema: primeiro escrevo a expressão usando exponencial e logaritmo:
\bigl(1+\cos x\bigr)^{\frac{3}{\cos x}} = \exp\!\Biggl(\frac{3}{\cos x}\,\ln\bigl(1+\cos x\bigr)\Biggr).
Para calcular o limite da expressão original, basta calcular
L := \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{3}{\cos x}\,\ln\bigl(1+\cos x\bigr),
e então o limite pedido será \exp(L).

Passo 4

Calcular o limite L. Pelo que vimos no Passo 1:
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{3}{\cos x} = 3\sqrt{2}, \qquad \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \ln\bigl(1+\cos x\bigr) = \ln\!\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right).
Como ambas as funções são contínuas nos pontos de interesse e os limites existem finitos, o produto dos limites é o limite do produto. Logo
L = 3\sqrt{2}\,\ln\!\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 5

Agora voltamos da exponenciação:
\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \bigl(1+\cos x\bigr)^{\frac{3}{\cos x}} = \exp\!\left(3\sqrt{2}\,\ln\!\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\right).
Usando a propriedade \exp(\alpha\ln \beta)=\beta^{\alpha}, obtemos a forma mais direta da resposta:
\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^{3\sqrt{2}}.

Resposta

\left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^{3\sqrt{2}}

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