Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações úteis que já estão no enunciado ou que podemos calcular diretamente:
-
- Portanto a base tende a
quando
.
- E o expoente tende a
quando
.
O que se pede: calcular o valor do limite acima.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos uma expressão da forma
e
,
, podemos passar para o logaritmo e usar a continuidade das funções envolvidas. Vou explicar isso com calma.
Explicação didática da técnica:
- Para qualquer
e qualquer vale a identidade
onde
é o logaritmo natural e
é a função exponencial.
- A função
é contínua em . A função é contínua para todo . - Se
e , então (produto de limites), e pela continuidade de tem-se
Essa é a justificação rigorosa para substituir limites dentro da potência quando a base tende a número positivo e o expoente tende a um número finito.
Passo 3
Aplicando a técnica ao problema: primeiro escrevo a expressão usando exponencial e logaritmo:
Para calcular o limite da expressão original, basta calcular
e então o limite pedido será
.
Passo 4
Calcular o limite
. Pelo que vimos no Passo 1:
Como ambas as funções são contínuas nos pontos de interesse e os limites existem finitos, o produto dos limites é o limite do produto. Logo
Passo 5
Agora voltamos da exponenciação:
Usando a propriedade
, obtemos a forma mais direta da resposta: