Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x-1}{2 x+5}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x-1}{2x+5}.
Informações dadas:
  • Numerador é o polinômio \,x^{2}+x-1.
  • Denominador é o polinômio (de grau menor) \,2x+5.
  • O objetivo é determinar o comportamento da razão quando x cresce sem limite.

Passo 2

Vamos pensar qualitativamente antes de calcular: para x muito grande o termo que mais manda no numerador é o que tem maior potência de x, isto é \,x^{2}. No denominador o termo dominante é \,2x. Logo, para x grande a fração deve se comportar como uma expressão parecida com \dfrac{x^{2}}{2x}, que é aproximadamente \dfrac{x}{2}, e isso cresce sem limite quando x\to\infty. Portanto, a expectativa é que o limite seja +\infty. Agora vamos justificar isso de forma rigorosa e ensinando o método.

Passo 3

Regra prática (explicada): dados polinômios no numerador e denominador de uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)},
  • se \deg P < \deg Q então \lim_{x\to\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0;
  • se \deg P = \deg Q então \lim_{x\to\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}íí;
  • se \deg P > \deg Q então \lim_{x\to\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\pm\infty. O sinal é determinado pelo sinal do quociente dos termos de maior grau para x grande (ou seja, pelos coeficientes líderes e pelo comportamento de x quando x\to\infty).
Aqui:
\deg(x^{2}+x-1)=2 e \deg(2x+5)=1. Como 2>1, aplicamos a terceira situação: o limite será infinito (ou menos infinito), e precisamos determinar o sinal.

Passo 4

Método algébrico de justificativa (dividir por x ou por x^{2}). Vou dividir numerador e denominador por x primeiro para ilustrar claramente que a parte que cresce no numerador domina:
\frac{x^{2}+x-1}{2x+5} = \frac{x\bigl(x+1-\tfrac{1}{x}\bigr)}{x\bigl(2+\tfrac{5}{x}\bigr)} = \frac{x+1-\tfrac{1}{x}}{2+\tfrac{5}{x}}.
Agora analisamos os termos quando x\to\infty:
  • \tfrac{1}{x}\to 0,
  • \tfrac{5}{x}\to 0.
Portanto, para x grande a expressão fica aproximadamente \dfrac{x+1}{2}. Mais rigorosamente, podemos escrever o comportamento assintótico:
\frac{x+1-\tfrac{1}{x}}{2+\tfrac{5}{x}}=\frac{x\left(1+\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x^{2}}\right)}{2+\tfrac{5}{x}}.
Como 1+\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x^{2}}\to 1 e 2+\tfrac{5}{x}\to 2, o quociente tem o mesmo crescimento que \dfrac{x}{2} quando x\to\infty.

Passo 5

Determinação do sinal e conclusão: para x positivo e grande, \dfrac{x}{2} é claramente positivo e tende a +\infty. Logo a fração original também tende a +\infty. Outra maneira: dividir por x^{2}
\frac{1+\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x^{2}}}{\tfrac{2}{x}+\tfrac{5}{x^{2}}}
o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0^{+} (pois \tfrac{2}{x}+\tfrac{5}{x^{2}}>0 para x grande positivo), portanto a razão tende a +\infty.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{3}+1}{x^{2}+5}=+\infty porque grau do numerador (3) > grau do denominador (2) e o termo dominante é positivo.
  • \lim_{x\to\infty}\dfrac{-x^{2}+1}{x}= -\infty porque \dfrac{-x^{2}}{x}=-x\to -\infty.

Resposta

+\infty

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