Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- Numerador é o polinômio
. - Denominador é o polinômio (de grau menor)
. - O objetivo é determinar o comportamento da razão quando
cresce sem limite.
Passo 2
Vamos pensar qualitativamente antes de calcular: para
muito grande o termo que mais manda no numerador é o que tem maior potência de
, isto é
. No denominador o termo dominante é
. Logo, para
grande a fração deve se comportar como uma expressão parecida com
, que é aproximadamente
, e isso cresce sem limite quando
. Portanto, a expectativa é que o limite seja
. Agora vamos justificar isso de forma rigorosa e ensinando o método.
Passo 3
Regra prática (explicada): dados polinômios no numerador e denominador de uma função racional
,
- se
então ; - se
então ; - se
então . O sinal é determinado pelo sinal do quociente dos termos de maior grau para grande (ou seja, pelos coeficientes líderes e pelo comportamento de quando ).
Aqui:
e
. Como
, aplicamos a terceira situação: o limite será infinito (ou menos infinito), e precisamos determinar o sinal.
Passo 4
Método algébrico de justificativa (dividir por
ou por
). Vou dividir numerador e denominador por
primeiro para ilustrar claramente que a parte que cresce no numerador domina:
Agora analisamos os termos quando
:
-
, -
.
Portanto, para
grande a expressão fica aproximadamente
. Mais rigorosamente, podemos escrever o comportamento assintótico:
Como
e
, o quociente tem o mesmo crescimento que
quando
.
Passo 5
Determinação do sinal e conclusão: para
positivo e grande,
é claramente positivo e tende a
. Logo a fração original também tende a
. Outra maneira: dividir por
dá
o numerador tende a
e o denominador tende a
(pois
para
grande positivo), portanto a razão tende a
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
porque grau do numerador (3) > grau do denominador (2) e o termo dominante é positivo. -
porque .