Questão 3: A densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} C\left(2 x-x^{2}\right), & 0<x<5 / 2 \\\\ 0 & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
a) Calcule o valor de C;
b) Calcule E X;
c) Calcule a função de distribuição acumulada F_{X} de X.

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases} C\left(2x-x^{2}\right), & 0<x<5/2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
As perguntas são:
  • (a) Calcular o valor da constante C.
  • (b) Calcular E[X], a esperança (valor esperado) de X.
  • (c) Determinar a função de distribuição acumulada F_{X}(x)=P(X\le x).
Informações relevantes fornecidas:
  • O suporte da variável X é o intervalo aberto 0<x<5/2 (fora disso a densidade é zero).
  • A densidade é proporcional a 2x-x^{2} dentro do suporte, com fator de normalização C desconhecido.]

Passo 2

Conceito usado para (a): uma função é densidade de probabilidade quando a área total sob sua curva é 1. Em fórmulas isso significa
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de 0<x<5/2, isso vira
\int_{0}^{5/2} C\bigl(2x-x^{2}\bigr)\,dx = 1.
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro encontramos uma primitiva de 2x-x^{2}. Para polinômios usamos regras básicas:
  • \displaystyle \int 2x\,dx = x^{2} porque \frac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} porque \frac{d}{dx}\frac{x^{3}}{3}=x^{2}.
Portanto uma primitiva de 2x-x^{2} é x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 5/2:
\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{5/2} = \left(\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^{3}\right)-0.
Calculemos as potências:
\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4},\qquad \left(\frac{5}{2}\right)^{3}=\frac{125}{8}.
Então
\frac{25}{4}-\frac{1}{3}\cdot\frac{125}{8} = \frac{25}{4}-\frac{125}{24}.
Colocando sobre o mesmo denominador 24:
\frac{25}{4}=\frac{150}{24},\quad\text{portanto}\quad \frac{150}{24}-\frac{125}{24}=\frac{25}{24}.
Voltando à condição de normalização:
C\cdot\frac{25}{24}=1 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{24}{25}.

Passo 3

Agora (b): fórmula e conceito da esperança. A esperança de uma variável contínua X com densidade f é
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Como f é zero fora de 0<x<5/2,
E[X]=\int_{0}^{5/2} x\cdot C\bigl(2x-x^{2}\bigr)\,dx = C\int_{0}^{5/2} \bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx.
Calculamos a primitiva de 2x^{2}-x^{3}:
  • \displaystyle \int 2x^{2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3}.
  • \displaystyle \int x^{3}\,dx = \frac{1}{4}x^{4}.
Assim
\int_{0}^{5/2} \bigl(2x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}\right]_{0}^{5/2}.
Avalie em x=5/2. Sabemos \left(\frac{5}{2}\right)^{3}=\frac{125}{8} e
\left(\frac{5}{2}\right)^{4}=\left(\frac{5}{2}\right)\cdot\frac{125}{8}=\frac{625}{16}. Então
\frac{2}{3}\cdot\frac{125}{8}-\frac{1}{4}\cdot\frac{625}{16} = \frac{250}{24}-\frac{625}{64}.
Para somar, use denominador comum 192:
\frac{250}{24}=\frac{2000}{192},\qquad \frac{625}{64}=\frac{1875}{192},
portanto a diferença é
\frac{2000}{192}-\frac{1875}{192}=\frac{125}{192}.
Logo
E[X]=C\cdot\frac{125}{192}.
Substituindo C=\dfrac{24}{25}:
E[X]=\frac{24}{25}\cdot\frac{125}{192}.
Simplificando: \dfrac{125}{25}=5, então fica \dfrac{24\cdot 5}{192}=\dfrac{120}{192}.
Reduzindo por 24
E[X]=\frac{5}{8}.

Passo 4

Agora (c): definição e cálculo da função de distribuição acumulada (CDF). Por definição,
F_{X}(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t\le 0 e para t\ge 5/2, a CDF é peçawise:
  • Se x\le 0, então F_{X}(x)=0.
  • Se 0<x<5/2, então
F_{X}(x)=\int_{0}^{x} C\bigl(2t-t^{2}\bigr)\,dt = C\left[t^{2}-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{x} = C\left(x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right).
  • Se x\ge 5/2, então F_{X}(x)=1 (porque toda a massa está no intervalo 0<x<5/2).
Substituindo C=\dfrac{24}{25} obtemos explicitamente, para 0<x<5/2,
F_{X}(x)=\frac{24}{25}\left(x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right).
É bom verificar continuidade em x=5/2: já calculamos que
\left(x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right)\big|_{x=5/2}=\dfrac{25}{24}, então
F_{X}\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\frac{24}{25}\cdot\frac{25}{24}=1,
como esperado.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar (como usar a CDF na prova): se você quiser P(X\le 1), basta calcular
F_{X}(1)=\frac{24}{25}\left(1^{2}-\frac{1^{3}}{3}\right) =\frac{24}{25}\cdot\frac{2}{3} =\frac{48}{75}=\frac{16}{25}=0,64.
Isso mostra o uso prático da expressão encontrada.

Resposta

C=\dfrac{24}{25}
E[X]=\dfrac{5}{8}
F_{X}(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] \dfrac{24}{25}\!\left(x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right), & 0<x<\dfrac{5}{2},\\[8pt] 1, & x\ge \dfrac{5}{2}. \end{cases}]

Exercícios relacionados