Questão 3: A densidade de probabilidade de uma variável aleatória
é dada por
a) Calcule o valor de
;
b) Calcule
;
c) Calcule a função de distribuição acumulada
de
.
b) Calcule
c) Calcule a função de distribuição acumulada
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade
As perguntas são:
- (a) Calcular o valor da constante
. - (b) Calcular
, a esperança (valor esperado) de . - (c) Determinar a função de distribuição acumulada
.
Informações relevantes fornecidas:
- O suporte da variável
é o intervalo aberto (fora disso a densidade é zero). - A densidade é proporcional a
dentro do suporte, com fator de normalização desconhecido.]
Passo 2
Conceito usado para (a): uma função é densidade de probabilidade quando a área total sob sua curva é
. Em fórmulas isso significa
Como
fora de
, isso vira
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro encontramos uma primitiva de
. Para polinômios usamos regras básicas:
-
porque . -
porque .
Portanto uma primitiva de
é
. Avaliando de
a
:
Calculemos as potências:
Então
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Voltando à condição de normalização:
Passo 3
Agora (b): fórmula e conceito da esperança. A esperança de uma variável contínua
com densidade
é
Como
é zero fora de
,
Calculamos a primitiva de
:
-
. -
.
Assim
Avalie em
. Sabemos
e
. Então
Para somar, use denominador comum
:
portanto a diferença é
Logo
Substituindo
:
Simplificando:
, então fica
.
Reduzindo por dá
Reduzindo por
Passo 4
Agora (c): definição e cálculo da função de distribuição acumulada (CDF). Por definição,
Como
para
e para
, a CDF é peçawise:
- Se
, então . - Se
, então
- Se
, então (porque toda a massa está no intervalo ).
Substituindo
obtemos explicitamente, para
,
É bom verificar continuidade em
: já calculamos que
, então
como esperado.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar (como usar a CDF na prova): se você quiser
, basta calcular
Isso mostra o uso prático da expressão encontrada.