Questão 1: Considere o ensaio em que um dado honesto é rolado duas vezes. Considere a variável aleatória
que fornece a soma dos valores obtidos em cada ensaio.
a) Forneça o espaço amostral associado a esse ensaio;
b) Calcule
e
;
c) Calcule
. (
é a função de distribuição cumulativa de
).
a) Forneça o espaço amostral associado a esse ensaio;
b) Calcule
c) Calcule
Passo 1
O enunciado diz: um dado honesto (justo) é lançado duas vezes. Definimos a variável aleatória
como a soma dos valores obtidos nas duas jogadas. São pedidas três coisas:
- (a) o espaço amostral do ensaio;
- (b)
e ; - (c)
, onde é a função de distribuição cumulativa de .
Informações relevantes fornecidas:
- Cada lançamento do dado tem resultados possíveis
. - O dado é honesto, portanto todos os resultados simples (cada face) têm a mesma probabilidade.
- A variável
toma os valores possíveis da soma de duas faces, isto é inteiros de até .
Passo 2
Construindo o espaço amostral.
Quando lançamos o dado duas vezes, o resultado pode ser representado por um par ordenado , onde
é o resultado da primeira jogada e
da segunda. Portanto o espaço amostral é o produto cartesiano dos resultados das duas jogadas:
Quando lançamos o dado duas vezes, o resultado pode ser representado por um par ordenado
Isso contém
elementos:
. Como o dado é honesto, cada par
tem probabilidade
.
Passo 3
Encontrando a distribuição de
Para ficar concreto, alguns valores:
,
,
,
,
, e depois simétricos até
.]
Passo 4
Cálculo de
. Definição útil: para variável discreta
Mas é mais simples usar linearidade da esperança: escrevemos
, onde
e
são os valores dos dados 1 e 2. Cada
é uniforme em
. Primeiro calculemos
:
Pela linearidade da esperança (independente ou não, a linearidade vale):
Comentário didático: calcular
somando todas as massas com
daria o mesmo resultado, mas usar linearidade e conhecer a média de um dado é muito mais rápido na prova.
Passo 5
Cálculo de
. Definição e propriedades que vamos usar:
-
. - Se
e são independentes, .
Calculamos a variância de um único dado
. Primeiro
:
Então
Fazendo as contas com denominador comum
:
logo
Como
e
são independentes,
(Valor numérico aproximado:
.)
Passo 6
Cálculo de
. Observação importante sobre notação: aqui o enunciado usa vírgula como separador decimal (padrão em português), portanto
significa
, isto é a função de distribuição avaliada em
(ou seja
em decimal). A função de distribuição cumulativa é
Como
só assume valores inteiros,
. Logo somamos as probabilidades
:
Portanto
.
Resposta
(a)
(b)
(c)