Questão 1: Considere o ensaio em que um dado honesto é rolado duas vezes. Considere a variável aleatória X que fornece a soma dos valores obtidos em cada ensaio.
a) Forneça o espaço amostral associado a esse ensaio;
b) Calcule E X e \operatorname{Var} X;
c) Calcule F_{X}(5,5). ( F_{X} é a função de distribuição cumulativa de X ).

Passo 1

O enunciado diz: um dado honesto (justo) é lançado duas vezes. Definimos a variável aleatória X como a soma dos valores obtidos nas duas jogadas. São pedidas três coisas:
  • (a) o espaço amostral do ensaio;
  • (b) E X e \operatorname{Var} X;
  • (c) F_{X}(5,5), onde F_X é a função de distribuição cumulativa de X.
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada lançamento do dado tem resultados possíveis 1,2,3,4,5,6.
  • O dado é honesto, portanto todos os resultados simples (cada face) têm a mesma probabilidade.
  • A variável X toma os valores possíveis da soma de duas faces, isto é inteiros de 2 até 12.

Passo 2

Construindo o espaço amostral.
Quando lançamos o dado duas vezes, o resultado pode ser representado por um par ordenado (i,j), onde i é o resultado da primeira jogada e j da segunda. Portanto o espaço amostral é o produto cartesiano dos resultados das duas jogadas:
\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\}.
Isso contém 6\cdot6=36 elementos: (1,1),(1,2),\dots,(6,6). Como o dado é honesto, cada par (i,j) tem probabilidade \tfrac{1}{36}.

Passo 3

Encontrando a distribuição de X\) (a função massa de probabilidade). A soma \(X=i+j\) pode valer qualquer inteiro de \(2\) a \(12\). Para cada \(k\in\{2,\dots,12\}\) contamos quantas pares \((i,j)\) dão \(i+j=k\). O número de combinações (contagem) é: - para \(k=2,3,4,5,6,7\): contagem \(=k-1\); - para \(k=8,9,10,11,12\): contagem \(=13-k\). Logo a massa de probabilidade é \[P(X=k)=\frac{\text{contagem}(k)}{36}= \begin{cases} \dfrac{k-1}{36}, & k=2,3,4,5,6,7,\\[6pt] \dfrac{13-k}{36}, & k=8,9,10,11,12. \end{cases}
Para ficar concreto, alguns valores: P(X=2)=\tfrac{1}{36}\], \(P(X=3)=\tfrac{2}{36}, P(X=4)=\tfrac{3}{36}, P(X=5)=\tfrac{4}{36}, P(X=6)=\tfrac{5}{36}, P(X=7)=\tfrac{6}{36}, e depois simétricos até 12.]

Passo 4

Cálculo de \mathbb{E}[X]. Definição útil: para variável discreta
\mathbb{E}[X] = \sum_{k} k\,P(X=k).
Mas é mais simples usar linearidade da esperança: escrevemos X=Y_1+Y_2, onde Y_1 e Y_2 são os valores dos dados 1 e 2. Cada Y_i é uniforme em \{1,\dots,6\}. Primeiro calculemos \mathbb{E}[Y_i]:
\mathbb{E}[Y_i]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}.
Pela linearidade da esperança (independente ou não, a linearidade vale):
\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y_1+Y_2]=\mathbb{E}[Y_1]+\mathbb{E}[Y_2]=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7.
Comentário didático: calcular \mathbb{E} somando todas as massas com k daria o mesmo resultado, mas usar linearidade e conhecer a média de um dado é muito mais rápido na prova.

Passo 5

Cálculo de \operatorname{Var}(X). Definição e propriedades que vamos usar:
  • \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2.
  • Se Y_1 e Y_2 são independentes, \operatorname{Var}(Y_1+Y_2)=\operatorname{Var}(Y_1)+\operatorname{Var}(Y_2).
Calculamos a variância de um único dado Y_i. Primeiro \mathbb{E}[Y_i^2]:
\mathbb{E}[Y_i^2]=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{91}{6}.
Então
\operatorname{Var}(Y_i)=\mathbb{E}[Y_i^2]-\mathbb{E}[Y_i]^2=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2.
Fazendo as contas com denominador comum 12:
\frac{91}{6}=\frac{182}{12},\qquad \left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{49}{4}=\frac{147}{12},
logo
\operatorname{Var}(Y_i)=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}.
Como Y_1 e Y_2 são independentes,
\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y_1)+\operatorname{Var}(Y_2)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}.
(Valor numérico aproximado: \frac{35}{6}\approx 5,8333.)

Passo 6

Cálculo de F_{X}(5,5). Observação importante sobre notação: aqui o enunciado usa vírgula como separador decimal (padrão em português), portanto F_X(5,5) significa F_X(5{,}5)=F_X(5{,}5), isto é a função de distribuição avaliada em 5{,}5 (ou seja 5{,}5=5{,}5 em decimal). A função de distribuição cumulativa é
F_X(x)=P(X\le x).
Como X só assume valores inteiros, P(X\le 5{,}5)=P(X\le 5). Logo somamos as probabilidades P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5):
P(X\le 5)=\frac{1+2+3+4}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}.
Portanto F_X(5{,}5)=\dfrac{5}{18}.

Resposta

(a) \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\}.
(b) \mathbb{E}[X]=7 \quad \operatorname{Var}(X)=\dfrac{35}{6}.
(c) F_{X}(5,5)=\dfrac{5}{18}.

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