F(b) é constante em intervalos e tem saltos em b=0,1,2,3,3{,}5.
Devemos usar essa F para obter as probabilidades pontuais (se existirem) e então calcular a esperança e a probabilidade pedida.
Passo 2
Como F é uma função de distribuição que é constante por trechos e tem saltos, isso indica que X é uma variável aleatória discreta com massa nos pontos onde F salta. Regra prática: a probabilidade em um ponto x é o tamanho do salto em x,
\text{p}(x)=\mathbb{P}(X=x)=F(x)-F(x^-),
onde F(x^-)=\lim_{t\to x^-}F(t) é o valor da c.d.f. à esquerda de x. Vamos calcular esses saltos nos pontos indicados pela peçawise.
Calculemos as probabilidades ponto a ponto:
Em x=0: F(0)=1/2 (valor para 0\le b<1) e F(0^-)=0 (valor para b<0). Então
Calcular \mathbb{P}[2<X<3]. Como X é discreta com massas somente nos pontos listados, o intervalo aberto (2,3) não contém nenhum dos pontos com probabilidade positiva (pois há massa em 2 e em 3, mas esses pontos são excluídos pelo intervalo aberto). Outra maneira usando a c.d.f.: para um intervalo aberto (a,b) vale
\mathbb{P}(a<X<b)=F(b^-)-F(a),
onde F(b^-) é o limite à esquerda em b. Aqui F(3^-) é o valor de F para 2\le b<3, ou seja F(3^-)=4/5. Também F(2)=4/5 (porque F é à direita em 2). Assim