Questão 2: Seja X uma variável aleatória cuja função de distribuição acumulada é dada por
F(b)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & b<0 \\\\ 1 / 2, & 0 \leq b<1 \\\\ 3 / 5, & 1 \leq b<2 \\\\ 4 / 5, & 2 \leq b<3 \\\\ 9 / 10, & 3 \leq b<3,5 \\\\ 1, & b \geq 3,5 \end{array}\right.
Calcule E X e \mathbb{P}[2<X<3].

Passo 1

O enunciado pede dois cálculos: E X e \mathbb{P}[2<X<3]. A função de distribuição acumulada F(b) fornecida é
F(b)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & b<0, \\\\ 1/2, & 0 \leq b<1, \\\\ 3/5, & 1 \leq b<2, \\\\ 4/5, & 2 \leq b<3, \\\\ 9/10, & 3 \leq b<3{,}5, \\\\ 1, & b \geq 3{,}5. \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • F(b) é constante em intervalos e tem saltos em b=0,1,2,3,3{,}5.
  • Devemos usar essa F para obter as probabilidades pontuais (se existirem) e então calcular a esperança e a probabilidade pedida.

Passo 2

Como F é uma função de distribuição que é constante por trechos e tem saltos, isso indica que X é uma variável aleatória discreta com massa nos pontos onde F salta. Regra prática: a probabilidade em um ponto x é o tamanho do salto em x,
\text{p}(x)=\mathbb{P}(X=x)=F(x)-F(x^-),
onde F(x^-)=\lim_{t\to x^-}F(t) é o valor da c.d.f. à esquerda de x. Vamos calcular esses saltos nos pontos indicados pela peçawise.
Calculemos as probabilidades ponto a ponto:
  • Em x=0: F(0)=1/2 (valor para 0\le b<1) e F(0^-)=0 (valor para b<0). Então
\mathbb{P}(X=0)=F(0)-F(0^-)=\tfrac{1}{2}-0=\tfrac{1}{2}.
  • Em x=1: F(1)=3/5 (valor para 1\le b<2) e F(1^-)=1/2. Então
\mathbb{P}(X=1)=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{10}-\tfrac{5}{10}=\tfrac{1}{10}.
  • Em x=2: F(2)=4/5 (valor para 2\le b<3) e F(2^-)=3/5. Então
\mathbb{P}(X=2)=\tfrac{4}{5}-\tfrac{3}{5}=\tfrac{1}{5}.
  • Em x=3: F(3)=9/10 (valor para 3\le b<3{,}5) e F(3^-)=4/5. Então
\mathbb{P}(X=3)=\tfrac{9}{10}-\tfrac{4}{5}=\tfrac{9}{10}-\tfrac{8}{10}=\tfrac{1}{10}.
  • Em x=3{,}5: F(3{,}5)=1 e F(3{,}5^-)=9/10. Então
\mathbb{P}(X=3{,}5)=1-\tfrac{9}{10}=\tfrac{1}{10}.
Conferência rápida: somando as probabilidades
\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{10} = \tfrac{5}{10}+\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{10}+\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{10} =\tfrac{10}{10}=1,
logo as massas estão consistentes.

Passo 3

Agora a esperança de uma variável discreta é a soma dos valores ponderados pelas suas probabilidades:
E X=\sum_{x} x\cdot \mathbb{P}(X=x).
Aqui os pontos com massa são 0,1,2,3,3{,}5 com probabilidades calculadas. Vamos calcular termo a termo:
  • 0\cdot \mathbb{P}(X=0)=0\cdot \tfrac{1}{2}=0.
  • 1\cdot \mathbb{P}(X=1)=1\cdot \tfrac{1}{10}=\tfrac{1}{10}.
  • 2\cdot \mathbb{P}(X=2)=2\cdot \tfrac{1}{5}=\tfrac{2}{5}.
  • 3\cdot \mathbb{P}(X=3)=3\cdot \tfrac{1}{10}=\tfrac{3}{10}.
  • 3{,}5\cdot \mathbb{P}(X=3{,}5)=\tfrac{7}{2}\cdot \tfrac{1}{10}=\tfrac{7}{20}.
Somando tudo:
E X=\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{5}+\tfrac{3}{10}+\tfrac{7}{20}.
Para somar, usamos denominador comum 20:
\tfrac{1}{10}=\tfrac{2}{20},\quad \tfrac{2}{5}=\tfrac{8}{20},\quad \tfrac{3}{10}=\tfrac{6}{20},\quad \tfrac{7}{20}=\tfrac{7}{20}.
Então
E X=\tfrac{2+8+6+7}{20}=\tfrac{23}{20}=1{,}15.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}[2<X<3]. Como X é discreta com massas somente nos pontos listados, o intervalo aberto (2,3) não contém nenhum dos pontos com probabilidade positiva (pois há massa em 2 e em 3, mas esses pontos são excluídos pelo intervalo aberto). Outra maneira usando a c.d.f.: para um intervalo aberto (a,b) vale
\mathbb{P}(a<X<b)=F(b^-)-F(a),
onde F(b^-) é o limite à esquerda em b. Aqui F(3^-) é o valor de F para 2\le b<3, ou seja F(3^-)=4/5. Também F(2)=4/5 (porque F é à direita em 2). Assim
\mathbb{P}(2<X<3)=F(3^-)-F(2)=\tfrac{4}{5}-\tfrac{4}{5}=0.
Portanto a probabilidade pedida é 0.

Resposta

E X=\dfrac{23}{20}
\mathbb{P}[2<X<3]=0

Exercícios relacionados