Questão 4: Das derivadas a seguir, qual é a derivada da função f(x)=-\operatorname{Cotg}(-x) :
A) f^{\prime}(x)=\operatorname{Cossec}(-x)
B) f^{\prime}(x)=-\operatorname{Cossec}(x)
C) f^{\prime}(x)=\operatorname{Cossec}^{2}(-x)
D) f^{\prime}(x)=-\operatorname{Cossec}^{2}(-x)
E) f^{\prime}(x)=-\operatorname{Cossec}^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função f(x)=-\operatorname{Cotg}(-x).
As informações dadas são:
  • A função é f(x)=-\operatorname{Cotg}(-x).
  • São apresentadas opções de resposta com expressões envolvendo \operatorname{Cossec} (cossecante) e seu quadrado, com argumentos -x ou x.

Passo 2

Vamos primeiro simplificar a função usando propriedade de paridade das funções trigonométricas (sem derivar ainda). Lembre que
\operatorname{Cotg}(x)=\frac{\cos x}{\sin x}.
Usando \cos(-x)=\cos x (par) e \sin(-x)=-\sin x (ímpar), obtemos:
\operatorname{Cotg}(-x)=\frac{\cos(-x)}{\sin(-x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\operatorname{Cotg}(x).
Portanto, substituindo em f,
f(x)=-\operatorname{Cotg}(-x)=-\bigl(-\operatorname{Cotg}(x)\bigr)=\operatorname{Cotg}(x).
Ou seja, a função simplifica para \displaystyle f(x)=\operatorname{Cotg}(x).

Passo 3

Agora vou lembrar e mostrar como obter a derivada de \operatorname{Cotg}(x). Uma maneira direta é usar a definição como quociente \operatorname{Cotg}(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x} e aplicar a regra do quociente.
Regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui tome u(x)=\cos x e v(x)=\sin x. Então u'(x)=-\sin x e v'(x)=\cos x. Aplicando:
\begin{aligned} \frac{d}{dx}\operatorname{Cotg}(x) &=\frac{(-\sin x)\cdot(\sin x)-(\cos x)\cdot(\cos x)}{\sin^2 x}\\[4pt] &=\frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x}\\[4pt] &=\frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}. \end{aligned}
Como \sin^2 x+\cos^2 x=1, segue
\frac{d}{dx}\operatorname{Cotg}(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}.]

Passo 4

A expressão -\dfrac{1}{\sin^2 x} corresponde à forma com a função cossecante. Lembrando que \operatorname{Cossec}(x)=\dfrac{1}{\sin x}, temos
-\frac{1}{\sin^2 x}=-\bigl(\operatorname{Cossec}(x)\bigr)^{2}=-\operatorname{Cossec}^{2}(x).
Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{Cotg}(x)=-\operatorname{Cossec}^{2}(x).

Passo 5

Como no Passo 2 mostrei que f(x)=\operatorname{Cotg}(x), então
f'(x)=-\operatorname{Cossec}^{2}(x).

Passo 6

Só para fechar com a verificação direta usando a regra da cadeia a partir da forma original f(x)=-\operatorname{Cotg}(-x): seja u(x)=-x. Temos \dfrac{d}{dx}\operatorname{Cotg}(u)=-\operatorname{Cossec}^{2}(u)\cdot u'(x). Como u'(x)=-1,
\frac{d}{dx}\operatorname{Cotg}(-x)=-\operatorname{Cossec}^{2}(-x)\cdot(-1)=\operatorname{Cossec}^{2}(-x).
Multiplicando pelo sinal externo,
f'(x)=-\operatorname{Cossec}^{2}(-x).
Agora use que \operatorname{Cossec}(-x)=-\operatorname{Cossec}(x) (cossecante é ímpar), então \operatorname{Cossec}^{2}(-x)=\operatorname{Cossec}^{2}(x). Assim a expressão acima coincide com
f'(x)=-\operatorname{Cossec}^{2}(x),
confirmando o resultado do Passo 5.

Resposta

E) f'(x)=-\operatorname{Cossec}^{2}(x)

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