Questão 4: Das derivadas a seguir, qual é a derivada da função
:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
- A função é
. - São apresentadas opções de resposta com expressões envolvendo
(cossecante) e seu quadrado, com argumentos ou .
Passo 2
Vamos primeiro simplificar a função usando propriedade de paridade das funções trigonométricas (sem derivar ainda). Lembre que
Usando
(par) e
(ímpar), obtemos:
Portanto, substituindo em
,
Ou seja, a função simplifica para
.
Passo 3
Agora vou lembrar e mostrar como obter a derivada de
. Uma maneira direta é usar a definição como quociente
e aplicar a regra do quociente.
Regra do quociente: se
, então
Aqui tome
e
. Então
e
. Aplicando:
Como
, segue
Passo 4
A expressão
corresponde à forma com a função cossecante. Lembrando que
, temos
Portanto
Passo 5
Como no Passo 2 mostrei que
, então
Passo 6
Só para fechar com a verificação direta usando a regra da cadeia a partir da forma original
: seja
. Temos
. Como
,
Multiplicando pelo sinal externo,
Agora use que
(cossecante é ímpar), então
. Assim a expressão acima coincide com
confirmando o resultado do Passo 5.
Resposta
E)