Questão 3: Mostre como se chega à derivada da função
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar como se chega à derivada da função
. Vou listar claramente o que isso significa e as informações iniciais:
- A função
é a função inversa da função seno restrita ao intervalo . - Queremos encontrar
, a derivada de em função de . - Importante: o domínio natural onde a função inversa está definida é
, mas a derivada que procuramos será bem definida somente em (nos extremos a derivada tende a infinito).
Passo 2
Vamos usar a definição de função inversa para escrever uma relação entre
e
. Se
então, por definição de inversa,
Esta igualdade é a chave: ela permite aplicar diferenciação implícita. Aqui
é vista como função de
, isto é
.
Passo 3
Diferencie ambos os lados da igualdade
em relação a
. Lembre que ao diferenciar uma função composta
usa-se a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplica-se por
.
Dessa forma,
Dessa forma,
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo,
Passo 4
Isolando
obtemos
Explicando:
é a derivada de
em relação a
, e ao isolar o fator
fica essa razão simples.
Passo 5
Agora precisamos escrever o lado direito em termos de
, porque a derivada pedida deve ser função de
. Usamos a identidade pitagórica para funções trigonométricas:
Daqui segue
Passo 6
Como de
temos
, substituindo na identidade obtemos
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, obtemos
Mas atenção: qual sinal escolher? Lembre que
pertence ao intervalo
. Nesse intervalo o cosseno é não negativo, ou seja
. Portanto toma-se o sinal positivo:
Passo 7
Substitua
em
. Assim
Explique o domínio: essa expressão faz sentido para
, isto é para
. Nos pontos
o denominador é zero e a derivada não é finita.
Passo 8
Resumo alternativo (teorema da derivada da inversa), que serve como checagem rápida: se
é diferenciável com
e
é sua inversa, então
Tomando
restrita a
tem-se
. Então
coincidindo com o resultado obtido por diferenciação implícita.
Passo 9
Exemplos numéricos rápidos para ganhar confiança:
- Em
: . - Em
: .