Questão 3: Mostre como se chega à derivada da função y=\operatorname{Arc} \operatorname{Sen}(x) :

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como se chega à derivada da função \,y=\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(x). Vou listar claramente o que isso significa e as informações iniciais:
  • A função \,y=\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(x) é a função inversa da função seno restrita ao intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
  • Queremos encontrar \dfrac{dy}{dx}, a derivada de y em função de x.
  • Importante: o domínio natural onde a função inversa está definida é x\in[-1,1], mas a derivada que procuramos será bem definida somente em x\in(-1,1) (nos extremos a derivada tende a infinito).

Passo 2

Vamos usar a definição de função inversa para escrever uma relação entre x e y. Se \,y=\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(x) então, por definição de inversa,
\sin(y)=x.
Esta igualdade é a chave: ela permite aplicar diferenciação implícita. Aqui y é vista como função de x, isto é y=y(x).

Passo 3

Diferencie ambos os lados da igualdade \sin(y)=x em relação a x. Lembre que ao diferenciar uma função composta \sin(y(x)) usa-se a regra da cadeia: a derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u), e depois multiplica-se por du/dx.
Dessa forma,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(y)\bigr)=\frac{d}{dx}(x).
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo,
\cos(y)\cdot\frac{dy}{dx}=1.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}.
Explicando: \cos(y) é a derivada de \sin(y) em relação a y, e ao isolar o fator \dfrac{dy}{dx} fica essa razão simples.

Passo 5

Agora precisamos escrever o lado direito em termos de x, porque a derivada pedida deve ser função de x. Usamos a identidade pitagórica para funções trigonométricas:
\cos^{2}(y)+\sin^{2}(y)=1.
Daqui segue
\cos^{2}(y)=1-\sin^{2}(y).

Passo 6

Como de \sin(y)=x temos \sin^{2}(y)=x^{2}, substituindo na identidade obtemos
\cos^{2}(y)=1-x^{2}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, obtemos
\cos(y)=\sqrt{1-x^{2}}\quad\text{ou}\quad\cos(y)=-\sqrt{1-x^{2}}.
Mas atenção: qual sinal escolher? Lembre que y=\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(x) pertence ao intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Nesse intervalo o cosseno é não negativo, ou seja \cos(y)\ge 0. Portanto toma-se o sinal positivo:
\cos(y)=\sqrt{1-x^{2}}\quad\text{quando }y=\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(x).

Passo 7

Substitua \cos(y)=\sqrt{1-x^{2}} em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos(y)}. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Explique o domínio: essa expressão faz sentido para 1-x^{2}>0, isto é para x\in(-1,1). Nos pontos x=\pm1 o denominador é zero e a derivada não é finita.

Passo 8

Resumo alternativo (teorema da derivada da inversa), que serve como checagem rápida: se f é diferenciável com f'(a)\neq0 e f^{-1} é sua inversa, então
\bigl(f^{-1}\bigr)'(x)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.
Tomando f=\sin restrita a \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] tem-se f'(t)=\cos(t). Então
\frac{d}{dx}\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(x)=\frac{1}{\cos\bigl(\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(x)\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},
coincidindo com o resultado obtido por diferenciação implícita.

Passo 9

Exemplos numéricos rápidos para ganhar confiança:
  • Em x=0: \dfrac{d}{dx}\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(0)=\dfrac{1}{\sqrt{1-0^{2}}}=1.
  • Em x=\tfrac{1}{2}: \dfrac{d}{dx}\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\tfrac{1}{2})^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3/4}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{Arc}\operatorname{Sen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad x\in(-1,1).

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