Questão 5: Qual dos resultados a seguir é encontrado ao derivar a função f(x)= \operatorname{Arctan}(4 x-2) ?
A) f^{\prime}(x)=\frac{4}{x^{2}+1}
B) f^{\prime}(x)=\frac{4}{16 x^{2}-16 x+5}
C) f^{\prime}(x)=\frac{4 x-2}{x^{2}+1}
D) f^{\prime}(x)=\frac{4 x-2}{1+(4 x-2)^{2}}
E) f^{\prime}(x)=\frac{4}{1+(4 x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que se derive a função f(x)=\operatorname{Arctan}(4x-2) e escolha a alternativa correta entre A), B), C), D) e E). Informação fornecida:
  • A função dada é f(x)=\operatorname{Arctan}(4x-2).
  • As alternativas apresentam possíveis expressões para f'(x).

Passo 2

Identificar a estrutura da função para escolher a técnica de derivação: a função é uma composição de uma função externa \operatorname{Arctan}(\cdot) com uma função interna u(x)=4x-2. Quando temos uma composição f(x)=g(u(x)), usamos a regra da cadeia para derivar: derivada de fora avaliada em dentro vezes derivada da dentro. Vou aplicar essa ideia passo a passo.

Passo 3

Apresentar a fórmula básica que vamos usar (regra da cadeia aplicada à arctan). Primeiro, lembrar a derivada de y=\operatorname{Arctan}(t) em relação a t. Uma maneira didática de obter essa derivada é por diferenciação implícita:
y=\operatorname{Arctan}(t)\quad\Longrightarrow\quad \tan y = t.
Derivando ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}(\tan y)=\frac{d}{dt}(t).
Como y depende de t, pela regra da cadeia:
\operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{dt}=1.
Logo
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Agora usar a identidade \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y e lembrar que \tan y=t. Assim
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1+\tan^{2}y}=\frac{1}{1+t^{2}}.
Portanto, para a função externa temos a fórmula conhecida:
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{Arctan}(t)\bigr)=\frac{1}{1+t^{2}}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para f(x)=\operatorname{Arctan}(u(x)). Se u(x) é a função interna, então
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{Arctan}(u(x))\bigr)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.
Aqui explicando cada símbolo:
  • u(x) é a função interna; no nosso caso u(x)=4x-2.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • O denominador 1+u(x)^{2} vem da fórmula da derivada da \operatorname{Arctan} vista no passo anterior.

Passo 5

Calcular a função interna e sua derivada. Tomar
u(x)=4x-2.
Derivando u(x) em relação a x:
u'(x)=\frac{d}{dx}(4x-2)=4,
porque a derivada de 4x é 4 e a derivada de -2 é 0.

Passo 6

Substituir u(x) e u'(x) na fórmula da regra da cadeia:
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}=\frac{4}{1+(4x-2)^{2}}.
Essa é a expressão final da derivada.

Passo 7

Verificar se alguma alternativa dada corresponde a essa expressão. A alternativa E apresenta exatamente
f'(x)=\frac{4}{1+(4x-2)^{2}}.
A alternativa B apresenta a mesma expressão com o denominador expandido; de fato
(4x-2)^{2}=16x^{2}-16x+4,
portanto
1+(4x-2)^{2}=16x^{2}-16x+5,
e assim a forma da alternativa B é algebricamente igual à da alternativa E. A forma direta obtida pela regra da cadeia é a da alternativa E, que é a indicada como resposta padrão.

Resposta

E) \displaystyle f'(x)=\frac{4}{1+(4x-2)^{2}}

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