Questão 5: Qual dos resultados a seguir é encontrado ao derivar a função
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede que se derive a função
e escolha a alternativa correta entre A), B), C), D) e E). Informação fornecida:
- A função dada é
. - As alternativas apresentam possíveis expressões para
.
Passo 2
Identificar a estrutura da função para escolher a técnica de derivação: a função é uma composição de uma função externa
com uma função interna
. Quando temos uma composição
, usamos a regra da cadeia para derivar: derivada de fora avaliada em dentro vezes derivada da dentro. Vou aplicar essa ideia passo a passo.
Passo 3
Apresentar a fórmula básica que vamos usar (regra da cadeia aplicada à arctan). Primeiro, lembrar a derivada de
em relação a
. Uma maneira didática de obter essa derivada é por diferenciação implícita:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Como
depende de
, pela regra da cadeia:
Logo
Agora usar a identidade
e lembrar que
. Assim
Portanto, para a função externa temos a fórmula conhecida:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para
. Se
é a função interna, então
Aqui explicando cada símbolo:
-
é a função interna; no nosso caso . -
é a derivada de em relação a . - O denominador
vem da fórmula da derivada da vista no passo anterior.
Passo 5
Calcular a função interna e sua derivada. Tomar
Derivando
em relação a
:
porque a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Substituir
e
na fórmula da regra da cadeia:
Essa é a expressão final da derivada.
Passo 7
Verificar se alguma alternativa dada corresponde a essa expressão. A alternativa E apresenta exatamente
A alternativa B apresenta a mesma expressão com o denominador expandido; de fato
portanto
e assim a forma da alternativa B é algebricamente igual à da alternativa E. A forma direta obtida pela regra da cadeia é a da alternativa E, que é a indicada como resposta padrão.
Resposta
E)