Questão 4. Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para derivar implicitamente, ou seja: encontrar
em termos de
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável
é considerada função de (não foi dada explicitamente), então escrevemos . - A equação relaciona
e e será diferenciada em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma bem simples):
- Regra da cadeia: se
então . Aqui , portanto . - Regra do produto: se temos um produto
então . No lado direito temos , então aplicaremos essa regra. - Notação curta: escrevo
também como para ficar mais limpo.
Passo 3
Diferencio ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Calculo cada derivada separadamente:
- Para
: o coeficiente sai da derivada e obtemos
- Para
: usando a regra da cadeia,
Somando, o lado esquerdo dá
- Para o lado direito
: aplicando a regra do produto (derivada de é ),
Passo 5
Igualando as duas derivadas obtemos a equação com
:
Agora agrupamos os termos que contêm
no mesmo lado. Subtraindo
de ambos os lados e deixando
no outro lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 6
Para isolar
dividimos ambos os lados por
, desde que esse denominador seja diferente de zero. Isso dá a expressão final para a derivada implícita.