Questão 4. Derive implicitamente:
5 y+\cos y=x y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
5y+\cos y = x y
e pede para derivar implicitamente, ou seja: encontrar \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
Informações dadas:
  • A variável y é considerada função de x (não foi dada explicitamente), então escrevemos y=y(x).
  • A equação relaciona x e y e será diferenciada em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma bem simples):
  • Regra da cadeia: se u=u(x) então \dfrac{d}{dx}[\cos(u)]=-\sin(u)\cdot u'. Aqui u=y(x), portanto \dfrac{d}{dx}[\cos y] = -\sin y\cdot \dfrac{dy}{dx}.
  • Regra do produto: se temos um produto u(x)\,v(x) então \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'. No lado direito temos x\cdot y(x), então aplicaremos essa regra.
  • Notação curta: escrevo \dfrac{dy}{dx} também como y' para ficar mais limpo.

Passo 3

Diferencio ambos os lados da equação em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(5y+\cos y\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr).

Passo 4

Calculo cada derivada separadamente:
  • Para \dfrac{d}{dx}(5y): o coeficiente 5 sai da derivada e obtemos
\frac{d}{dx}(5y)=5\frac{dy}{dx}=5y'.
  • Para \dfrac{d}{dx}(\cos y): usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(\cos y)=-\sin y\cdot\frac{dy}{dx}=-\sin y\,y'.
Somando, o lado esquerdo dá
5y' - \sin y\,y'.
  • Para o lado direito \dfrac{d}{dx}(x y): aplicando a regra do produto (derivada de x é 1),
\frac{d}{dx}(x y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot\frac{d}{dx}(y)=1\cdot y + x y' = y + x y'.

Passo 5

Igualando as duas derivadas obtemos a equação com y':
5y' - \sin y\,y' = y + x y'.
Agora agrupamos os termos que contêm y' no mesmo lado. Subtraindo x y' de ambos os lados e deixando y no outro lado:
5y' - \sin y\,y' - x y' = y.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\bigl(5 - \sin y - x\bigr) = y.

Passo 6

Para isolar y' dividimos ambos os lados por \bigl(5 - \sin y - x\bigr), desde que esse denominador seja diferente de zero. Isso dá a expressão final para a derivada implícita.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{y}{5-\sin y - x}

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