Questão 1. Derive:
y=\frac{x^{2}+1}{\operatorname{sec} x}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido):
  • Dado: y=\dfrac{x^{2}+1}{\operatorname{sec} x}.
  • Pedido: calcular a derivada de y em relação a x, ou seja, encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Simplificar a expressão antes de derivar (isso facilita as regras a usar).
  • Lembrando a identidade trigonométrica \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, temos \dfrac{1}{\operatorname{sec} x}=\cos x.
  • Portanto podemos reescrever
y=(x^{2}+1)\cos x.
Explicação rápida: trocar pela forma com \cos x evita ter que usar a regra da derivada de \operatorname{sec} x e deixa a função como produto de duas funções simples.

Passo 3

Qual regra vamos usar para derivar um produto.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u(x) e v(x) representam quaisquer duas funções; u'(x) e v'(x) são suas derivadas.

Passo 4

Identificar u e v no nosso caso e calcular u'(x).
  • Tomamos
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=\cos x.
  • Derivada de u: aplicar a regra do poder (power rule). A regra diz \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Assim \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e \dfrac{d}{dx}(1)=0. Logo
u'(x)=2x.

Passo 5

Calcular v'(x).
  • Derivada da função trigonométrica: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • Portanto
v'(x)=-\sin x.
Breve intuição: a derivada de \cos é o negativo de \sin; memorize esse par \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Passo 6

Aplicar a regra do produto substituindo u, u', v, v'.
y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo os valores que encontramos:
y' = (2x)\cos x + (x^{2}+1)(-\sin x).
Simplificando o sinal:
y' = 2x\cos x - (x^{2}+1)\sin x.

Resposta

y'=2x\cos x-(x^{2}+1)\sin x

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