Questão 1. Derive:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Isso significa que a tarefa é calcular
. Não há outros dados; só precisamos obter a expressão da derivada em função de
.
Passo 2
Vou usar a regra do quociente porque temos uma função na forma “numerador dividido por denominador” — isto é, podemos escrever
com
e
fáceis de derivar. A regra do quociente diz que, para
,
Se você quiser entender de onde vem essa fórmula rapidamente: escrevemos
, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de
é
, então
É uma fórmula prática para usar em provas sem complicação.
Passo 3
Identificamos
Agora calculamos
e
. Lembrando as derivadas básicas:
-
. -
. -
.
Portanto
porque a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Essa é uma forma correta da derivada, mas podemos simplificar o numerador para deixá-la mais legível.
Passo 5
Vamos expandir cuidadosamente o numerador. Primeiro expandimos cada produto:
Subtraindo a segunda expressão da primeira (porque o numerador é o primeiro menos o segundo) obtemos
Agora use a identidade trigonométrica básica
. Substituindo:
Passo 6
Substituindo esse numerador simplificado sobre o denominador já escrito, a derivada final é
Se quiser, pode checar passos intermediários reexpandindo ou, na prova, apresentar primeiro a forma com a regra do quociente e depois a simplificação do numerador como fizemos.