Questão 1. Derive:
y=\frac{x+\operatorname{sen} x}{x-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y=\frac{x+\sin x}{x-\cos x}.
Isso significa que a tarefa é calcular y'=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x+\sin x}{x-\cos x}\right). Não há outros dados; só precisamos obter a expressão da derivada em função de x.

Passo 2

Vou usar a regra do quociente porque temos uma função na forma “numerador dividido por denominador” — isto é, podemos escrever y=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v fáceis de derivar. A regra do quociente diz que, para y=\dfrac{u}{v},
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Se você quiser entender de onde vem essa fórmula rapidamente: escrevemos y=u\cdot v^{-1}, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de v^{-1} é -v'/v^{2}, então
y'=u'\,v^{-1}+u\cdot(-v')\,v^{-2}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
É uma fórmula prática para usar em provas sem complicação.

Passo 3

Identificamos
u(x)=x+\sin x,\qquad v(x)=x-\cos x.
Agora calculamos u' e v'. Lembrando as derivadas básicas:
  • \dfrac{d}{dx}x=1.
  • \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}(x+\sin x)=1+\cos x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x-\cos x)=1+\sin x,
porque a derivada de -\cos x é -(-\sin x))=\sin x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(1+\cos x)(x-\cos x)-(x+\sin x)(1+\sin x)}{(x-\cos x)^{2}}.
Essa é uma forma correta da derivada, mas podemos simplificar o numerador para deixá-la mais legível.

Passo 5

Vamos expandir cuidadosamente o numerador. Primeiro expandimos cada produto:
(1+\cos x)(x-\cos x)=x+\!x\cos x-\cos x-\cos^{2}x,
(x+\sin x)(1+\sin x)=x+x\sin x+\sin x+\sin^{2}x.
Subtraindo a segunda expressão da primeira (porque o numerador é o primeiro menos o segundo) obtemos
\begin{aligned} &\big(x+x\cos x-\cos x-\cos^{2}x\big)-\big(x+x\sin x+\sin x+\sin^{2}x\big)\\[4pt] &\quad= x\cos x - x\sin x \;-\; (\cos x+\sin x)\;-\;(\cos^{2}x+\sin^{2}x). \end{aligned}
Agora use a identidade trigonométrica básica \cos^{2}x+\sin^{2}x=1. Substituindo:
\text{numerador}=x(\cos x-\sin x)-(\cos x+\sin x)-1.]

Passo 6

Substituindo esse numerador simplificado sobre o denominador já escrito, a derivada final é
y'=\frac{x(\cos x-\sin x)-\bigl(1+\cos x+\sin x\bigr)}{(x-\cos x)^{2}}.
Se quiser, pode checar passos intermediários reexpandindo ou, na prova, apresentar primeiro a forma com a regra do quociente e depois a simplificação do numerador como fizemos.

Resposta

y'=\frac{x(\cos x-\sin x)-\bigl(1+\cos x+\sin x\bigr)}{(x-\cos x)^{2}}

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