Calcule os limites usando L’Hóspetal
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações que temos do enunciado:
- A expressão no numerador é
. - A expressão no denominador é
. - A variável tende para
, isto é .
Antes de aplicar qualquer técnica, é útil verificar os limites separados do numerador e do denominador ao substituir
:
Portanto temos uma forma do tipo
, ou seja, indeterminação.
Passo 2
Vou usar a Regra de L’Hôpital (pois o enunciado pediu explicitamente). A Regra de L’Hôpital diz o seguinte, em linguagem simples:
- Se
e (ou ambos ±∞), e se as derivadas e existem numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), então
desde que o limite à direita exista ou seja ±∞.
Intuição rápida: quando as duas funções vão para zero, o quão rápido cada uma vai para zero é governado pelas derivadas; comparar as derivadas dá a razão limite.
Passo 3
Verificamos as hipóteses para aplicar L’Hôpital:
- Já vimos que
. - E
.
As derivadas das funções envolvidas existem perto de. Portanto podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calcular as derivadas do numerador e do denominador, com explicação passo a passo:
- Derivada do numerador
: - Derivada de
é . - Derivada de
é porque . - Logo
.
- Derivada de
- Derivada do denominador
: - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Logo
.
- Derivada de
Passo 5
Aplicando L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Agora avaliamos esse novo limite. Note que ao aproximar
de
temos
e
, logo não há mais indeterminação:
Portanto o limite original vale
.
Passo 6
Cheque rápido (interpretação alternativa): usando a expansão de Taylor para ter intuição,
então
Para o denominador
, para
muito pequeno o termo linear
domina sobre
, então a razão se comporta aproximadamente como
Isto confirma o resultado obtido via L’Hôpital.