Calcule os limites usando L’Hóspetal
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}+x}.
Informações que temos do enunciado:
  • A expressão no numerador é 1-\cos(x).
  • A expressão no denominador é x^{2}+x.
  • A variável tende para 0, isto é x\to 0.
Antes de aplicar qualquer técnica, é útil verificar os limites separados do numerador e do denominador ao substituir x=0:
1-\cos(0)=1-1=0, \qquad 0^{2}+0=0.
Portanto temos uma forma do tipo 0/0, ou seja, indeterminação.

Passo 2

Vou usar a Regra de L’Hôpital (pois o enunciado pediu explicitamente). A Regra de L’Hôpital diz o seguinte, em linguagem simples:
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos ±∞), e se as derivadas f'(x) e g'(x) existem numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista ou seja ±∞.
Intuição rápida: quando as duas funções vão para zero, o quão rápido cada uma vai para zero é governado pelas derivadas; comparar as derivadas dá a razão limite.

Passo 3

Verificamos as hipóteses para aplicar L’Hôpital:
  • Já vimos que \lim_{x\to 0}(1-\cos(x))=0.
  • E \lim_{x\to 0}(x^{2}+x)=0.
    As derivadas das funções envolvidas existem perto de 0. Portanto podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calcular as derivadas do numerador e do denominador, com explicação passo a passo:
  • Derivada do numerador f(x)=1-\cos(x):
    • Derivada de 1 é 0.
    • Derivada de -\cos(x) é -(-\sin(x))=\sin(x) porque \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
    • Logo f'(x)=\sin(x).
  • Derivada do denominador g(x)=x^{2}+x:
    • Derivada de x^{2} é 2x.
    • Derivada de x é 1.
    • Logo g'(x)=2x+1.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}+x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x+1}.
Agora avaliamos esse novo limite. Note que ao aproximar x de 0 temos \sin(0)=0 e 2\cdot 0+1=1, logo não há mais indeterminação:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x+1}=\frac{\sin(0)}{2\cdot 0+1}=\frac{0}{1}=0.
Portanto o limite original vale 0.

Passo 6

Cheque rápido (interpretação alternativa): usando a expansão de Taylor para ter intuição,
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\quad(x\to 0),
então
1-\cos(x)\approx\frac{x^{2}}{2}.
Para o denominador x^{2}+x, para x muito pequeno o termo linear x domina sobre x^{2}, então a razão se comporta aproximadamente como
\frac{x^{2}/2}{x}\sim\frac{x}{2}\to 0.
Isto confirma o resultado obtido via L’Hôpital.

Resposta

0

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