Questão 1. Derive:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O objetivo é encontrar a derivada
(também chamada de ).
Passo 2
Vou escolher primeiro um método algébrico simples: expandir o quadrado e simplificar antes de derivar. Isso costuma ser mais direto em provas porque reduz produto de funções compostas e usa identidades trigonométricas básicas. (Existe outro método — regra da cadeia — que também funciona; mostro-o depois como verificação.)
Passo 3
Expandindo o quadrado do binômio:
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica
, simplificamos:
Também é útil lembrar a identidade de ângulo duplo
, então equivalentemente
Passo 5
Agora derivamos. A derivada de
é
. Usando a forma
e a regra do produto para
:
Seja
e
. Então
e
. A regra do produto diz
. Assim,
Multiplicando por
,
Usando a identidade de cosseno de dobro de ângulo
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida pelo método da cadeia (opcional): defina
. Então
e pela regra da cadeia
. Calculando
, tem-se
mesmo resultado.