Questão 1. Derive:
y=(\operatorname{sen} x+\cos x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y=(\operatorname{sen} x+\cos x)^{2}.
Informações dadas:
  • A função é y=(\operatorname{sen} x+\cos x)^{2}.
  • O objetivo é encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} (também chamada de y').

Passo 2

Vou escolher primeiro um método algébrico simples: expandir o quadrado e simplificar antes de derivar. Isso costuma ser mais direto em provas porque reduz produto de funções compostas e usa identidades trigonométricas básicas. (Existe outro método — regra da cadeia — que também funciona; mostro-o depois como verificação.)

Passo 3

Expandindo o quadrado do binômio:
y=(\operatorname{sen} x+\cos x)^{2}=(\operatorname{sen} x)^{2}+2\,\operatorname{sen} x\cos x+(\cos x)^{2}.

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1, simplificamos:
y=1+2\,\operatorname{sen} x\cos x.
Também é útil lembrar a identidade de ângulo duplo \operatorname{sen}2x=2\,\operatorname{sen}x\cos x, então equivalentemente
y=1+\operatorname{sen}2x.

Passo 5

Agora derivamos. A derivada de 1 é 0. Usando a forma y=1+2\,\operatorname{sen}x\cos x e a regra do produto para \operatorname{sen}x\cos x:
Seja u(x)=\operatorname{sen}x e v(x)=\cos x. Então u'(x)=\cos x e v'(x)=-\operatorname{sen}x. A regra do produto diz (uv)'=u'v+uv'. Assim,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\cos x\big)=\cos x\cdot\cos x+\operatorname{sen}x\cdot(-\operatorname{sen}x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x.
Multiplicando por 2,
y'=2\big(\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x\big).
Usando a identidade de cosseno de dobro de ângulo \cos 2x=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x, obtemos
y'=2\cos 2x.

Passo 6

Verificação rápida pelo método da cadeia (opcional): defina f(x)=\operatorname{sen}x+\cos x. Então y=f(x)^{2} e pela regra da cadeia \,y'=2f(x)f'(x). Calculando f'(x)=\cos x-\operatorname{sen}x, tem-se
y'=2(\operatorname{sen}x+\cos x)(\cos x-\operatorname{sen}x)=2(\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x)=2\cos 2x,
mesmo resultado.

Resposta

y'=2\cos 2x

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