Questão 1. Derive:
y=\left(x^{3}+\sqrt{x}\right) \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede que eu derive a função
y=\left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\operatorname{cossec}x.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A função é escrita como produto de duas partes: u(x)=x^{3}+\sqrt{x} e v(x)=\operatorname{cossec}x.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x}, portanto a expressão faz sentido para x\ge 0 (e também é preciso que \sin x\neq 0 para \operatorname{cossec}x estar definida).
  • A única pergunta do enunciado é: calcular y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto porque y é um produto de duas funções u(x) e v(x). A regra do produto diz o seguinte:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. Vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente e depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Derivando u(x)=x^{3}+\sqrt{x}.
  • Para x^{3} uso a regra da potência: para \,x^{n}\, vale \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Assim
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Para \sqrt{x} escrevo como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}. Aplicando a regra da potência:
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto
u'(x)=3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Derivando v(x)=\operatorname{cossec}x. Aqui \operatorname{cossec}x é o mesmo que \csc x, ou seja \operatorname{cossec}x=\dfrac{1}{\sin x}.
Posso derivar usando a regra do quociente ou conhecendo a derivada padrão de \csc x. Derivando \dfrac{1}{\sin x}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right)=-\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Reescrevendo em funções trigonométricas usuais:
-\frac{\cos x}{\sin^{2}x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\csc x\cot x.
Portanto
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cossec}x\big)=-\operatorname{cossec}x\;\cot x.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Substituindo u, u', v, v' que já calculei:
y'=\left(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\operatorname{cossec}x + \left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\left(-\operatorname{cossec}x\;\cot x\right).

Passo 6

Organizo os sinais e fatoro termos comuns para tornar a expressão mais clara. Primeiro escrevendo explicitamente o sinal:
y'=\left(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\operatorname{cossec}x - \left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\operatorname{cossec}x\;\cot x.
Agora fatoro \operatorname{cossec}x (que aparece em ambos os termos):
y'=\operatorname{cossec}x\left(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}} - (x^{3}+\sqrt{x})\cot x\right).
Essa forma fatorada costuma ser mais prática para manipulações e para avaliar a derivada em pontos.

Resposta

y'=\operatorname{cossec}x\left(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-(x^{3}+\sqrt{x})\cot x\right)

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