Questão 1. Derive:
Passo 1
O enunciado pede que eu derive a função
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A função é escrita como produto de duas partes:
e . - Há uma raiz quadrada
, portanto a expressão faz sentido para (e também é preciso que para estar definida). - A única pergunta do enunciado é: calcular
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos usar a regra do produto porque
é um produto de duas funções
e
. A regra do produto diz o seguinte:
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
. Vou calcular
e
separadamente e depois aplicar essa fórmula.
Passo 3
Derivando
.
- Para
uso a regra da potência: para vale . Assim
- Para
escrevo como potência: . Aplicando a regra da potência:
Portanto
Passo 4
Derivando
. Aqui
é o mesmo que
, ou seja
.
Posso derivar usando a regra do quociente ou conhecendo a derivada padrão de
. Derivando
:
Reescrevendo em funções trigonométricas usuais:
Portanto
Passo 5
Agora aplico a regra do produto
. Substituindo
que já calculei:
Passo 6
Organizo os sinais e fatoro termos comuns para tornar a expressão mais clara. Primeiro escrevendo explicitamente o sinal:
Agora fatoro
(que aparece em ambos os termos):
Essa forma fatorada costuma ser mais prática para manipulações e para avaliar a derivada em pontos.