Questão 1. Derive:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar a taxa de variação de
em relação a
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
.
A tarefa é calcular(ou ) dessa função.
Passo 2
Escolha do método: existem ao menos duas maneiras naturais de derivar
:
- método A (mais básico): expandir o quadrado e aplicar a regra da potência termo a termo;
- método B: aplicar diretamente a regra da cadeia.
Vou usar o método A porque é mais elementar (expansão + regra da potência) e costuma ser mais direto em provas quando o expoente é pequeno. Depois eu comento rapidamente a regra da cadeia para você ver a outra forma.
Passo 3
Lembrete da regra que vou usar (aula rápida e prática):
- Regra da potência: para qualquer número real
, a derivada de em relação a é
Aqui
é a variável independente e
é o expoente (constante). Exemplo simples:
.
- Regra da derivada de uma soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas:
- Regra da constante: a derivada de uma constante é zero:
Passo 4
Primeiro passo prático: expandir o quadrado para trabalhar com polinômios (pegando o dado do enunciado).
Passo 5
Agora aplico a derivação termo a termo, usando as regras do Passo 3:
- Derivada de
é , pois pela regra da potência com :
- Derivada de
é , porque a derivada de é e o fator constante sai:
- Derivada de
é , pela regra da constante:
Passo 6
Somando as derivadas dos termos (pela linearidade):
(Esse é o resultado antes de simplificar a notação.)
Passo 7
Observação rápida sobre a regra da cadeia (alternativa): se aplicasse a regra da cadeia direto a
, trataríamos
e
. Então
o que dá o mesmo resultado (apenas escrito numa forma factorizada). Eu mostrei a expansão porque é mais elementar, mas a regra da cadeia é muito útil quando a função interna é mais complicada.