Questão 1. Derive:
y=(x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função y=(x+1)^{2} e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar a taxa de variação de y em relação a x.
Informações fornecidas:
  • A função é y=(x+1)^{2}.
    A tarefa é calcular \dfrac{dy}{dx} (ou y') dessa função.

Passo 2

Escolha do método: existem ao menos duas maneiras naturais de derivar y=(x+1)^{2}:
  • método A (mais básico): expandir o quadrado e aplicar a regra da potência termo a termo;
  • método B: aplicar diretamente a regra da cadeia.
    Vou usar o método A porque é mais elementar (expansão + regra da potência) e costuma ser mais direto em provas quando o expoente é pequeno. Depois eu comento rapidamente a regra da cadeia para você ver a outra forma.

Passo 3

Lembrete da regra que vou usar (aula rápida e prática):
  • Regra da potência: para qualquer número real n, a derivada de x^{n} em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é o expoente (constante). Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • Regra da derivada de uma soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
  • Regra da constante: a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.

Passo 4

Primeiro passo prático: expandir o quadrado para trabalhar com polinômios (pegando o dado do enunciado).
y=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.

Passo 5

Agora aplico a derivação termo a termo, usando as regras do Passo 3:
  • Derivada de x^{2} é 2x, pois pela regra da potência com n=2:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • Derivada de 2x é 2, porque a derivada de x é 1 e o fator constante sai:
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}(x)=2\cdot 1=2.
  • Derivada de 1 é 0, pela regra da constante:
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos (pela linearidade):
\frac{dy}{dx}=2x+2+0.
(Esse é o resultado antes de simplificar a notação.)

Passo 7

Observação rápida sobre a regra da cadeia (alternativa): se aplicasse a regra da cadeia direto a y=(x+1)^{2}, trataríamos u=x+1 e y=u^{2}. Então
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot 1=2(x+1),
o que dá o mesmo resultado (apenas escrito numa forma factorizada). Eu mostrei a expansão porque é mais elementar, mas a regra da cadeia é muito útil quando a função interna é mais complicada.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2x+2

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