Questão 2. Derive:
y=e^{-x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função
y = e^{-x}\,\operatorname{sen} x
e pede que se derive essa função em relação a x. Ou seja, encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}. As informações importantes: a função é produto de duas partes — uma exponencial e^{-x} e uma função trigonométrica \operatorname{sen} x.

Passo 2

Escolhemos a regra do produto porque a função é produto de duas funções de x. A regra do produto diz que, se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
( u v )' = u' v + u v'.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx} e v' significa \dfrac{dv}{dx}. A ideia intuitiva: a variação do produto vem da variação da primeira mantendo a segunda fixa, mais a variação da segunda mantendo a primeira fixa.

Passo 3

Identificamos as partes do produto:
u(x)=e^{-x},\qquad v(x)=\operatorname{sen} x.
Agora calculamos u' e v' separadamente.
Para u(x)=e^{-x} usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}\cdot g'(x). Aqui g(x)=-x então g'(x)=-1. Assim
u'(x)=\big(e^{-x}\big)' = e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}.
Expliquei: primeiro deriva o expoente, que dá -1, e multiplica pela própria exponencial.
Para v(x)=\operatorname{sen} x usamos a derivada básica da trigonometria: a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x. Portanto
v'(x)=\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
y' = u'v + uv' = \big(-e^{-x}\big)\operatorname{sen} x + e^{-x}\cos x.
Escrevendo em duas etapas para ficar claro:
y' = -e^{-x}\operatorname{sen} x + e^{-x}\cos x.

Passo 5

Fatoramos e^{-x} (isso deixa a resposta mais simples e evita sinais espalhados):
y' = e^{-x}\big(\cos x - \operatorname{sen} x\big).
É bom conferir um ponto rápido para segurança: em x=0 a fórmula dá y'(0)=e^{0}(\cos0-\operatorname{sen}0)=1\cdot(1-0)=1. Usando produto direto em x=0: u'(0)v(0)+u(0)v'(0)=(-1)\cdot0 + 1\cdot1 =1. Confere.

Passo 6

Dica prática para a prova: quando tiver produto com exponencial composta (como e^{-x}) cuide do sinal vindo da derivada do expoente; uma boa estratégia é sempre calcular as derivadas das partes separadas (como fizemos) e só então somar u'v+uv'. Fatorar no final costuma simplificar a resposta e tornar a conferência mais fácil.

Resposta

y' = e^{-x}\big(\cos x - \operatorname{sen} x\big)

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