Questão 2. Derive:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se derive essa função em relação a
. Ou seja, encontrar
. As informações importantes: a função é produto de duas partes — uma exponencial
e uma função trigonométrica
.
Passo 2
Escolhemos a regra do produto porque a função é produto de duas funções de
. A regra do produto diz que, se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui
significa
e
significa
. A ideia intuitiva: a variação do produto vem da variação da primeira mantendo a segunda fixa, mais a variação da segunda mantendo a primeira fixa.
Passo 3
Identificamos as partes do produto:
Agora calculamos
e
separadamente.
Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
então
. Assim
Expliquei: primeiro deriva o expoente, que dá
, e multiplica pela própria exponencial.
Para
usamos a derivada básica da trigonometria: a derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Escrevendo em duas etapas para ficar claro:
Passo 5
Fatoramos
(isso deixa a resposta mais simples e evita sinais espalhados):
É bom conferir um ponto rápido para segurança: em
a fórmula dá
. Usando produto direto em
:
. Confere.
Passo 6
Dica prática para a prova: quando tiver produto com exponencial composta (como
) cuide do sinal vindo da derivada do expoente; uma boa estratégia é sempre calcular as derivadas das partes separadas (como fizemos) e só então somar
. Fatorar no final costuma simplificar a resposta e tornar a conferência mais fácil.