Questão 1. Derive:
y=\left(x^{2}+\operatorname{cotg} x^{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\left(x^{2}+\operatorname{cotg} x^{2}\right)^{2}
e pede para derivá-la em relação a x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma composição: uma potência ao quadrado aplicada a uma soma.
  • A soma interna é x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2}), onde \operatorname{cotg}(x^{2}) é a cotangente de x^{2}.
  • O objetivo é encontrar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Identificar a estrutura e aplicar a regra da cadeia para a potência exterior. Seja
u(x)=x^{2}+\operatorname{cotg}\bigl(x^{2}\bigr),
assim y=(u(x))^{2}. A regra da potência (caso composto) diz:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{2}\bigr)=2\,u(x)\,u'(x).
Explicando: quando temos uma função exterior t\mapsto t^{2} aplicada a uma função u(x), derivamos a exterior (dando 2u) e multiplicamos pela derivada da interior u'(x). É a essência da regra da cadeia.

Passo 3

Agora precisamos de u'(x). Usamos a linearidade da derivada (derivada de soma é soma das derivadas). Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr).
A derivada de x^{2} é direta:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Explicando: potência com expoente 2 tem derivada 2x (regra d(x^{n})/dx = n x^{n-1}).

Passo 4

Falta derivar \operatorname{cotg}(x^{2}). Isso é uma composição também: t\mapsto \operatorname{cotg} t com t=x^{2}. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)=\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{cotg} t\bigr)\Big|_{t=x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}).
Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{cotg} t\bigr)=-\csc^{2} t,
onde \csc t=\dfrac{1}{\sin t} (cosecante). E \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)=-\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x=-2x\,\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr).
Expliquei: derivada da cotangente é negativa da cosecante ao quadrado, e multiplicamos pelo derivado do interior x^{2}.

Passo 5

Somando as duas partes para u'(x):
u'(x)=2x-2x\,\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr)=2x\bigl(1-\csc^{2}(x^{2})\bigr).
Podemos usar a identidade trigonométrica \csc^{2}t=1+\cot^{2}t (ou, no mesmo estilo do enunciado, \csc^{2}t=1+\operatorname{cotg}^{2}t). Assim
1-\csc^{2}(x^{2})=1-\bigl(1+\operatorname{cotg}^{2}(x^{2})\bigr)=-\operatorname{cotg}^{2}(x^{2}),
logo uma forma simplificada é
u'(x)=-2x\,\operatorname{cotg}^{2}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 6

Voltando à derivada de y pela regra da cadeia (veja Passo 2):
\frac{dy}{dx}=2\,u(x)\,u'(x).
Substituindo u(x)=x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2}) e u'(x)=-2x\,\operatorname{cotg}^{2}(x^{2}), obtemos
\frac{dy}{dx}=2\bigl(x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)\bigl(-2x\,\operatorname{cotg}^{2}(x^{2})\bigr)=-4x\bigl(x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)\operatorname{cotg}^{2}(x^{2}).
Também poderíamos deixar sem usar a identidade trigonométrica e escrever
\frac{dy}{dx}=4x\bigl(x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)\bigl(1-\csc^{2}(x^{2})\bigr),
ambas são equivalentes; a primeira está já bem simplificada.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-4x\bigl(x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)\operatorname{cotg}^{2}(x^{2})

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