Questão 1. Derive:
y=x e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \displaystyle y = x e^{3x}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle y(x)=x e^{3x}.
  • A pergunta é: calcular a derivada \displaystyle \frac{dy}{dx} (ou y').

Passo 2

Vamos lembrar a regra do produto (porque a função é produto de duas funções). A regra do produto diz:
(fg)' = f' g + f g'.
Aqui, f e g são funções de x. A fórmula significa: a derivada do produto é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. É uma regra fundamental e muito usada — pense que sempre que tiver algo do tipo “coisa 1 × coisa 2”, use essa regra.

Passo 3

Identificamos as duas funções que estão multiplicando:
f(x)=x,\qquad g(x)=e^{3x}.
Agora calculamos as derivadas separadamente.
A derivada de f(x)=x é simples:
f'(x)=1,
porque a inclinação da reta y=x é 1.

Passo 4

Calculamos a derivada de g(x)=e^{3x}. Aqui usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
\text{se } g(x)=h(u(x)) \text{ então } g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).ã
No nosso caso, tome h(u)=e^{u} e u(x)=3x. Sabemos que h'(u)=e^{u}. Então:
g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{3x}\cdot(3)=3e^{3x}.
Ou seja, a derivada de e^{3x} é 3e^{3x} — porque derivou-se o expoente 3x e multiplicou por 3.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com f,f',g,g' que já temos:
y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
Substituindo:
y' = 1\cdot e^{3x} + x\cdot(3e^{3x}).
Simplificando termos semelhantes:
y' = e^{3x} + 3x e^{3x}.
Fatorando e^{3x} (comum aos dois termos) fica mais compacto:
y' = e^{3x}\bigl(1+3x\bigr).

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre que vir x e^{ax}, a derivada é e^{ax}(1+ax). Exemplo rápido: se fosse \,y=x e^{2x}\,, então y'=e^{2x}(1+2x). Isso vem direto das mesmas regras que usamos: produto + cadeia.

Resposta

\displaystyle y'=e^{3x}\bigl(1+3x\bigr)

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